学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与__________n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示类型一 用数学归纳法证明等式例1 (1)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.类型二 利用数学归纳法证明不等式例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．引申探究把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键：(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n2n ＋1.类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．反思与感悟 (1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤(2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径． 跟踪训练3 设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明( ) A ．1<2－12－1B ．1＋122<2－122－1C ．1＋122＋132<2－122－1D ．1＋122＋132＋142<2－122－12．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 43．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明，错误是______________________________．4．请观察以下三个式子： (1)1×3＝1×2×96；(2)1×3＋2×4＝2×3×116；(3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．答案精析问题导学 思考1 成立．思考2 不能，上面的等式只对n 取1至50的正整数成立． 梳理 (1)正整数 ②n ＝k ＋1(2)n ＝n 0 n ＝k n ＝k ＋1 从n 0开始所有的正整数n 题型探究 例1 (1)2(2k ＋1) (2)证明 ①当n ＝1时， 左边＝1－12＝12，右边＝12.左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时， 等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1).∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．跟踪训练1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1， 等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1) ＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，等式都成立．例2 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*)方法一 (分析法) 下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 引申探究证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0，∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立．跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1.因为3(k ＋1)2k ＋3－[3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2]＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立． 例3 解 (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，同理求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，a 1＝13，等式显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么当n ＝k ＋1时， 由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1.S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1， 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].所以当n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n ∈N *都成立． 跟踪训练3 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )， 所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝aa ＋1，a 3＝f (a 2)＝f (a a ＋1)＝a ·a a ＋1a ＋a a ＋1＝a a ＋2， a 4＝f (a 3)＝f (a a ＋2) ＝a ·a a ＋2a ＋a a ＋2＝a a ＋3， 猜想a n ＝a a ＋(n －1)(n ∈N *)． (2)①易知当n ＝1时，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝aa ＋(k －1). 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a ×a a ＋(k －1)a ＋a a ＋(k －1)＝a a ＋(k －1)＋1＝a a ＋k＝a a ＋[(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a a ＋(n －1). 当堂训练1．C 2.C 3.未用归纳假设4．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6.证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)＝k(k＋1)(2k＋7)6，则当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)＝k(k＋1)(2k＋7)6＋(k＋1)(k＋3)＝k＋16(2k2＋7k＋6k＋18)＝k＋16(2k2＋13k＋18)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋9)6＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋7]6，所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．。