2.2 求M/M/m （n ）中，等待时间w 的概率密度函数。
解：M/M/m （n ）的概率分布为：11010011!)(!)(--=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=∑m r m n m k m m p k m p ρρρρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-≤≤=nk n k m p k m m k p k m p km kk 0!10!)(00ρρ假定n>m ，n ≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x 的概率。
∑=>•=>nj j j x w P p x w P 0}{}{其中，P j {w>x}的概率为：nj m x w P n j m i x m ex w P m j x w P j mj i i xm j j ≤≤=>-≤≤⋅=>-≤≤=>∑-=-1}{1!)(}{100}{0μμ 可得：xm m nn i m m n i i x m m n m j n m j i ix m j m nn mj mj i i xm j em m P x w P 则若n P i x m e P m m i x m e P m m P i x m eP x w P )(010010010!)(1}{1!)(!!)(!!)(}{λμμμμρρρρρμρμρμ--+--=--=-=--=-=-⋅-=>∞→+--⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=+⋅⋅=>∑∑∑∑∑ 特别的，新到顾客需等待的概率为：!)(1}0{0m m P W P mρρ⋅-=>])!1()()!1()(!)()([)1(!)(而1210--------=----=---∑m n m m m n x m i x m e m P m x f m n nm n i m n m i m x m m w μλμρλμρλλμρρμnm k kxm m m w P w P P w P 注：e m m P m xf 在n =∞===--=∞→∑-=--}{}0{)()1(!)(10)(0λμλμρρ2.4求M/D/1排队问题中等待时间W 的一、二、三阶矩m 1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值b ，到达率为λ。
解：)()1()(S B s s s G λλρ+--=其中 sbst e dt e b t s B -∞-=-=⎰0)()(δ从而 sbe s s s G -+--=λλρ)1()( 又 ∑∞==0)(i ii s g s G)1(!)(00ρλλ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∞=∞=s j sb s s g j j i i ib g λρ--=110 221)1(2)1(b b g λρλ---= 34232)1(12)2)(1(b b b g λλλρ-+-=34332322211443)1(4)21(6)0()1(6)2(2)0()1(2)0()()1(24)1)(21(ρλρρλρρλρλλλρλ-+=⨯='''-=-+=⨯=''=-=-='-==--+-=b g G m b g G m b g G m b b b b g2.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W ，其中B 是二阶指数分布：100,)1()(212121<<>-+=--αλλλααλλλt t e e t f解：M/B/1()[]2212212221222122112221221122110)1(1)1(1)1(22)0(1)0()1()()(λλλαλαλλλλαλλαλρλλαλαλλρλαλαλαλαλλαλαλ---+-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+==-+=''=-+='-=+-++==⎰∞-m w w B w B w ss dt e t f S B st B/M/1)))(21(2)(11())(21(2)(11)1(2))(21(2)(1110)1()(21221212122121212212122112211ρραρρρρμρραρρρρσμσρραρρρρσαλμσμλαλμσμαλσρμλρμλμσμσ--+-++----+-+-++=-=--+-+-++=<<+--++-===-=w 的根取令BB/B/1设到达的概率密度函数为t te et f 2121)1()(λλλααλ---+= 设离去的概率密度函数为t te e tf 4343)1()(λλλααλ---+=假设423121λλλλααα====()[][]212222122212221212121'021210212121214222121422212221221122112211)1(2)2()1())1(()()()())(()()()()(lim))(()()())(()()())()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(λλααλααλαλααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλααλλλλλαλαλλλαλαλλλαλαλ---+-=-+-+=+-=-=+++=Φ==Φ=---=Φ+++=Φ++---=++----+-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--+-++===++→-+t 其中tts S w s t s s k s S s k s w ts s k s s s t s s s s s t s s 取s s s s s s t s s s s s s s s s s s B s A ss s B s A s w w s2.6 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a ，服务时间为b ，均为恒定值，且a>b ，求：稳定状态时系统的队列长度为k 的概率p k ，顾客到达时队列的长度为k 的概率v k ，顾客离去时队列的长度d k ，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a ≤b 的情况。
解：由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b 后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b 后，下一个顾客到达。
此时有：⎩⎨⎧≠===⎪⎩⎪⎨⎧=-==0010)(1k k d r k a b a k a bp k k k顾客不等待时0=w G/G/1上界公式)1(20)()()()()1(2222222=∴=-+≤∴==∴-=-=-+≤w t w b t t p a p t w tt t r ρσσσσδτδτρσσττ当a<b 时系统将不稳定,以恒定的速率增加顾客，即每隔ba ab-时间后，系统队列长度增长1。
2.7求M/E 2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，μττμτ22)2()(-=e b解：设相邻呼叫到达间隔为t ，如果服务时间t >τ，将造成呼损，t ≤τ时无呼损。
22220)2(4)2()()()()(μλλμλττμλττττμτλ++=⋅=⋅==∴⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞∞∞dt d ee dt d b t a p 则d b t p tt tc t c2.8在优先级别队列中，A 队为优先级，不拒绝，B 队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A 队无人时才能被服务，求各状态概率，A 队的平均等待时间和B 队的拒绝概率。
解：说明：0状态代表系统中无顾客状态； i ，j 状态代表系统中正在服务且A队中有i 个顾客，B 队列中有j 个顾客排队的状态。
状态转移图如右，A 队到达率为1λ，B 队到达率为2λ，服务率μ，系统稳定时，应有111<=μλρ可得到特征方程如下:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=+>+=+++=++++=++=++-+-54321)(0)()()()()()(0,21,11,111,10,10,110,21110020110211001002100021 i P P P P i P P P P P P PP P P P P i i i i i i i λμλλμμλλλμμλλμλλμλλμμλλ由于4是差分方程，不妨设其通解为：ii x p p 000= 代入有：222211100)1()1(21212221210121210010010021ρρρρρρρρρρρρρρ++-++-++=∴<<=+++-⇒+=+++-x x x x x p x p x p i i i由于5是非齐次差分方程：0)1(0,21,111,11,1=+++--+i i i i p p p p p ρρ 其特征根为：1ρ=a假设其通解为：iii Bx A p 011,+=ρ代入前式得：0)1(00021010110=⋅+⋅+⋅+-⋅-+i i i i x p x B x B x B ρρρ解之，得：ii i x p A p p B 00011,00-=-=ρ代入3式得：()110020111p p p +=+ρρ 即：()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧+==--++=-++=0210000010210010210011p p xp p x x p p x p A ii i i i ρρρρρρρ，，由正则条件：()()()()()[]()()()()210210001021001002121110010210210111111111111ρμρρρρρμμρρρρρρρρρρρ--++=-+++=++=∴-++++--=∴=-++++∑∑∑∞=∞=∞=x p x p r p p r w x p x p p r rr r r A i i ，，()[]()()00010210000102100011111x px p x x p p P r rrr r CB ----++=--++==∑∑∞=∞=ρρρρρρ，2.9排队系统中有三个队列,其到达率分别为c b a λλλ,,公用同一出线路，其中a 类最优先，即线路有空闲就发送；b 类次之，即a 无排队时可以发送，c 类最低，即a ，b 类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为n a ＝2，n b =1，n c ＝0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算c b a λλλ==时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。
解：r ，s ，k 分别表示a ，b ，c 三队中等待的呼叫数，状态以（r ，s ，k ）表示。
稳态方程：210010*********11021011000001010020000020010001000100000000)()()()()()()()(p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p a b a b a b a a b a b a c b a b a c b a μλλμλλλμμλμλλμλλμμλλλλλμμλλμλλλ++=++=+=+=++=++++++=++=++归一条件1,,0=+∑kj i p p 若 c b a λλλ== 令μλρa=15142736271212212212156122312212156122331221293323456200265421002320002543110023210024320100000++++++++=++++=++=++++=+++=++++==ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρp p p p p p p p p p p p pC 类呼损为： =-=01p p c B 类呼损为：210110010p p p p B ++= A 类呼损为：200210p p p A +=2.10 有一个三端网络，端点为321,,v v v ，边为),(211v v e 及),(322v v e ，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的业务到达率为λ，线路的服务率为μ的M|M|1(1)问题，当采用即时拒绝的方式时，求： 1) 各个端的业务呼损。