容斥问题
1、容斥原理的基本思想
容斥原理类型的题目的难点在于运算的时候，计数的重复、遗漏。
容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。
容斥原理类型题目我们通常通过两种方法去解决，公式法和文氏图。
文氏图是通过画图来求解。
公式法：
（1）两个集合的容斥关系（二元）
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左边的一个整圆表示为一个集合X，
右边的一个整圆表示为一个集合Y
矩形表示一个整体即所有元素
这个原图的核心部分在于中间的2个圆构成的交集，我们知道两个圆相交必然重复算了一次中间部分T:X+Y=(A+T)+(B+T)，要计算实际的2个圆中的元素数量，即必须把重复的去掉，即X+Y-T。
如果要求A 或者B 是多少，我们只需把对应X 或Y 去掉公共部分T 就可以得到。
如果要求T 是多少，我们只需把X+Y-A-B 即可得到重复的部分T。
两个圆X和Y构建的不一定是所有元素，这个时候我们一定要想办法把这些不是圆内的元素去掉，否则应用容斥原理就会出现错误，反过来，我们也可以利用这个求所有不参与圆的元素之和。
（2）三个集合的容斥关系（三元）
首先这里不考虑都不参与的元素
（1）A+B+T=至少参与一项的总人数（无重叠）
（2）A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数（含重叠）
（3）B＋3T＝至少包含2种的总人数（含重叠）
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（4）T=三项都参与的人数，也就是图形中的最中间的部分T。
（5）A=x+y+z：表示只参加了一个圆圈的人数，在图中反映的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
（6）B=a+b+c；表示仅参加了两个圆圈的人数，在图中反映的区域就是两两相交的部分总和（不含中间的T区域）。
【斜月沉沉-题目一】某代表团有756名成员，现要对A、B两议案分别分进行表决，且他们只能投赞成票或反对票。
已知赞成A议案的有476人，
赞成B议案的有294人，对A、B两议案都反对的有169人，则赞成A议案且反对B议案的有( )。
A、293 B 、182 C 、183 D、 462
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目二】旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5：3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7：5;两种活
动都喜欢的有43人。
对这两种活动都不喜欢的人数是（）。
A、18 B.27 C.28 D. 32
【斜月沉沉-正确答案】
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【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目三】某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34
人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？
A、12
B、14
C、15
D、29
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目四】某公司100名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参加评议的3/5，对乙满意的人数比甲的人数
多6人，对甲乙都不满意的占满意人数的1/3多2人，则对甲乙都满意的人数是（）
A. 36
B.26
C.48
D.42
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目五】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片， 覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、
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Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是( )。
A． 15 B． 16 C．14 D． 18
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目六】某市对52种建筑防水卷材产品质量抽检，其中有8种产品的低温度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接
缝切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？【11年国考真题】
A．37 B． 36 C．35 D． 34
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
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【斜月沉沉-题目七】甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两
人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题?
A．6 B． 5 C．4 D． 3
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目八】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对
了78题。
问三人都做对的题目至少有几题？
A．4 B． 8 C．12 D．16
3人都做对的最多有几题？
A．68 B．58 C．68 D．以上答案都不正确
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目九】某班级有30人，其中23人参加了数学兴趣小组，19人参加了科技兴趣小组，25人参加了文艺兴趣小组，每个人至少参加
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一个小组，则三个兴趣小组都参加的人数最少是多少人？
A．5 B．7 C．8 D．9
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目十】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人
喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（ ）。
A．22人 B．28人 C．30人 D36人
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
思路一：文氏图。
思路二：方程法。
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