我们可产生一系列随机数 1,2 ,3,4 ,5,6 ,....... 可简单取3个随机数构成一个随机点，即
(1,2 ,3 ), (4 ,5,6 ),.......
相应地，
1 b 1 n a f ( x)dx n f ( xi ) ba i 1 d b 1 1 n c a f ( x, y)dxdy n f ( xi , yi ) (d c)(b a) i 1
据此,可得产生 X 的随机数的具体过程为:每产 生一个(0,1)区间上均匀分布随机数U ,若
P(n 1) U P(n)
则令 X 取值 x n .
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例1:
离散型随机变量X有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下分布律: X 0 1 2 P(x) 0.3 0.3 0.4 设 U1 ,U2 ,,U N 是(0,1)上均匀分布的随机数,令
每个 xi j 有 m 种选择，所以向量 ( xi 1 , xi 2 ......xi -k ) 可以取 m
k -1
个不同的值，所以这样的随机数生成器
的最大周期可以达到 mk -1 1，大大提高了简单同余 生成器的周期。
22
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如 c 中的 random() 函数，Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差，如果用 c ，最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数，经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数，可以直接利用。
2147483399 2147483563
复杂一些的生成器
Multiple recursive generator
xi (a1 xi 1 a2 xi 2 ...... ak xi k ) mod m ui xi / m 需要选取种子(xk 1 , xk 2 .......x0 )
4
于是有： l p P( X sin ) 2 0

l sin 2

0
2 2l dxd a a

2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 f n ( A) 为 A
ˆ 在 n 次中出现的频率。假如我们取 f n ( A) 作为 p P ( A) 的估计，即 p fn ( A) 。
16
乘同余法：
U(0,1)随机数的生成
xi 1 axi mod m ui 1 xi 1 / m
其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0 称为种子,a 是乘因子,m是模数
17
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
将 {P(n)} 作为区间(0,1)的分点.若随机变量 U ~ U (0,1) ,有
P{P(n 1) U P(n)} P(n) P(n 1) pn , (n 1,2,)
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令 {P(n 1) U P(n)} {X xn}
则有
P{X xn } pn
20
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1 =2147483647 Multiplier a 16807 39373 742938285 950706376 1226874159 40692 40014 Reference Lewis, Goodman, and Miller L’Ecuyer Fishman and Moore Fishman and Moore Fishman and Moore L’Ecuyer L’Ecuyer 21
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从U(0,1)到其它概率分布的随机数
1.离散型随机数的模拟
2.连续型随机数的模拟
3.正态随机数的模拟
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1.离散型随机数的模拟
设随机变量 X 的分布律为 令
P{X xi } pi
n i 1
(i 1,2,)
(n 1, 2 ,)
P(0) 0, P(n) pi ,
一般地，

A
f ( x)d (measure of A) (average of f over n random points in A)
8
Monte Carlo数值积分的优点
与一般的数值积分方法比较，Monte Carlo方法 具有以下优点：
1. 一般的数值方法很难推广到高维积分的情形，而 Monte Carlo方法很容易推广到高维情形
由定理 1 ，要产生来自 F ( x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1 (u ) 即 可。具体步骤如下：
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均匀分布随机变量X的取值具有”均匀性” 均匀性特点:均匀分布随机变量X落在(a,b)内 任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而与 子区间的位置无关. 可假设有这种特性的随机变量服从均匀分布.
12
2. 正态分布 正态分布随机变量X的概率密度函数是
1 1 x 2 f ( x) exp[ ( ) ], x R 2 2
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p f n ( A) p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af n ( A)
ˆ 从而有
有如下的试验结果。
5
试验者
时间(年)
0, 0 U i 0.3 xi 1, 0.3 U i 0.6 2, 0.6 U i
则 x1 , x2 ,, xN 是具有X分布律的随机数.
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2.连续型随机数的模拟
a.逆变换方法(常用) (Inverse Transform Method) b.舍取方法 (Acceptance-Rejection Method)
4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费 用，提高模拟计算的效率
10
回顾几种连续型分布
1.均匀分布U(a,b) 其概率密度函数为
1 ,a x b f ( x) b a 0 , 其他
有
cd P{c x d} , 其中(c, d ) (a, b) ba
定理: 设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数, 而U是在(0,1)上均匀分布的随机变量, 令 X F 1 (U ) , 则Y与X有相同的分布.
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证明： 由 F 1 (U ) 的定义和均匀分布的分布函数可得： P( X x) P( F 1 (U ) x) P(U F ( x)) F ( x)
一般形式： xi 1 (axi c) mod m ui 1 xi 1 / m
1. c是非负整数.通过适当选取参数c可以改善 随机数的统计性质(独立性,均匀性).
2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们 可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的 初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
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3. 指数分布 指数分布随机变量X的概率密度为
ex , x 0 f ( x) 0, x 0
指数分布常用来描述寿命问题.
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二.随机数的生成
1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。 2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成 随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机 的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过 统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudorandom numbers)。 3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数， 而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布 U(0,1)的随机数。
Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法)
主要内容: 一. M-C方法概述. 二. 随机数的生成. 三. 模拟训练. 四. 实验题目.
成信院数学与信息科学系 李胜坤
1
一.M-C方法概述
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机 随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计 算方法。这一方法源于美国在第二次世界大 战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划 的主持人之一、数学家冯· 诺伊曼用驰名世 界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名 这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
2
基本思想很早以前就被人们所发现和 利用。17世纪，人们就知道用事件发 生的“频率”来决定事件的“概率”。 19世纪人们用投针试验的方法来决定π。 高速计算机的出现，使得用数学方法 在计算机上大量模拟这样的试验成为 可能。
3
从Buffon(蒲丰)投针问题谈起
Buffon 投针问题:平面上画很多平行线，间距为 a．向此平面投掷长为 l ( l < a) 的 针,此针与任一平行线相交的概率 p。
xi1 6xi mod11, ui+1 xi1 /11 （a 6, m 11 ）
如果令 a 3, x0 1 ,得到序列: 1,3,9,5, 4,1,3,9........ 如果令 a 3, x0 2, 得到序列： 2, 6, 7,10,8, 2, 6.......
针长 投针次数 相交次数
π的估计值
Wolf
1850
0.80
5000
2532
3.15956
Smith
1855
0.60
3204
1218
3.15665
Fox
1884
0.75
1030
489
3.15951
Lazzarini
1925
0.83
3408
1808
3.14159292
6
数值积分问题