5.1.3蒙特卡罗（随机模拟法）的数学基础


利用随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方 法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。 在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其 具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和 调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的 性状； 在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变 量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定 （完好或失效）； 所以结构从建造到使用期内的表现，就是对所设计结构 的一次随机实验结果。
其合理性评述1） FX(x)=r；（2）x 的 分布；（3）作为随机数的可信性。
FX(x)=r
I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样

这就意味着,如果（r1,r2,…rn) 是R的一组值， 则相应得到一组值x=FX-1(ri)（i=1,2,…n),具 有分布FX( x)。
I反函数方法产生随机变量的抽样的实例
ch5结构可靠度计算的蒙特卡罗法


5.1蒙特卡罗法概述 5.2蒙特卡罗法的优缺点 5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法的精度 5.4随机变量的抽样 5.5蒙特卡罗法计算可靠指标举例 5.6蒙特卡罗的重要抽样法
5.1蒙特卡罗法概述 5.1.1蒙特卡罗（随机模拟法）的基本思想 对于设计阶段的结构，其功能函数及所包含变 量的统计特征都是已知的，通过某种方法,根据 已知的概率特性(统计特征），产生大量设计 变量的样本值，将其代入功能函数，“计算” 结构的状态，并对计算结果进行分析统计,直接 计算其失效概率。
5.4.1随机数的产生

产生随机数的方法 随机数表：将利用某种方法（高速转盘、电子装置） 产生的随机数记录于磁盘中，使用时输入计算机即可 （一些数学手册中还附有随机数表）。 物理方法：由物理随机数发生器（安装在计算机上） 将具有随机性质的物理过程变换为随机数。是真正的 随机数，不会出现循环现象，但不便于对结果复查， 也不便于对不同方法进行对比，且发生器的稳定性检 查和维护是一项繁琐的工作，该法不常用。 数学方法：根据数论方法通过数学递推公式运算来实 现。速度快，即产即用，可重复生产。会出现循环现 象且随机数之间存在一定的相关性，被称谓伪随机数。
229.207 287.2799 276.2463 276.1648 403.2333 299.2444 334.0401
f f y (u) / f 0 取
r'
6.0349x10-3 2.9639x10-1 2.4123x10-1 2.4082x10-1 8.7616x10-1 3.5622x10-1 5.3020x10-1
2.离散型随机变量的抽样方法
结构可靠度分析中存在离散随机变量的情况：设计基 准期内可变荷载的变化次数；建筑场地一定时期内地 震的次数等。 设随机变量的分布律为：

P
1
p1
2
p2
n
pn
（1）一般离散型随机变量的抽样方法
定义
p
( 0)
0, p
(i )
p j (i 1,2, )
x[ a ,b ]
（1）确定概率密度函数的最大值
据
f f y ( f y 0 ) f y
0
f 0 max f f y ( f y)
f y [ a ,b ]
得
f y0
bB aC 301 .3Mpa BC
f y0 a c ) (
B
从而
f 0 f f y ( f y 0 ) A(
j 1
i
产生随机数r，计算满足条件 p (i 1) r pi
的 i值，所对应的 i 即为离散型随机变量 的一个样本。
该法适用于任何离散型随机变量的情况
（2）泊松分布的抽样方法（常见的离散型随机变量：活载变 化次数、地震次数均可用此描述） N服从泊松分布，则其取值为n的概率为
P(N n) e
5.1.4蒙特卡罗（随机 显而易见，在蒙特卡罗法中， 模拟法） 法的的数学 失效概率就是结构失效次数占 总试验次数的比例，这就是该 描述
方法的基本出发点。


从数学的角度描述为： 1.利用随机抽样以获得每一个变量的样本 ˆ， ˆ ，… X ˆ ， 值： X X 2.根据上述抽样值，计算功能函数的值Z：
y
A 4.106, B 2.21, C 3.82 a 228Mpa, b 428Mpa, c 200Mpa
由于贝塔分布的分布函数不能用显式表达—— 采用舍选法。
f f y ( f y ) A(
fy a c
) (
B
b fy c
)C
f 0 max f x ( x)
标准正态分布与 均匀分布随机变 量之间的关系。
（2）根据上式，由（0-1）均匀分布随机数，再产生标准正态 分布随机数。 （3）再由下式得到正态分布N(μ,σ) 随机数
yi xi
正态分布y与标准正 态分布x之间的关系。
y1 2 ln R1 cos(2R2 ) y2 2 ln R1 sin(2R2 )
抽样模拟多少次？ 如何随机抽样？如 何保证样本与实际 情况大体相符合？
5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法精度
4 N ˆ f 2 p

结论：精度与抽样模拟总数有关。换句话说，要想提 高精度，必须将抽样模拟总数提高
5.4随机变量的抽样

抽样方法：首先产生在开区间（0，1）上 的均匀样本值（随机数） ，在此基础上通 过一定的计算再变换成给定分布变量的随 机数。
对伪随机数的检验

用这种方法产生的伪随机数能否作为 （0-1）均匀分布的随机数，需要进行检 验。可在计算机上产生序列，然后用统 计检验方法检验其独立性和均匀性。
应用《数理统计》的知识
5.4.2随机变量的抽样

实际工程中，所涉及的随机变量并不服从0-1 均匀分布，因此需要研究其它分布类型的随机 变量样本值的产生方法。
eT 0.00193
(2)首先产生随机数r，然后按公式确定荷载变化次数的样本值
r e
i i 0
n 1

数学方法产生随机数


用数学方法产生的“随机数”，由于是按确定 的算法计算出来的，所以并不是真正的随机数， 但如果计算方法选择得当，它们就近似地是相 互独立和均匀分布的，经得起数理统计中的独 立性检验和均匀分布检验。鉴于此，人们把这 种数叫作伪随机数。 用数学方法产生的“随机数”，常用的方法是 同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余 法。
II随机变量函数法产生随机数——举例

例4-4 X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随
机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量， 试产生N(μ,σ)的随机数。 X 2 ln R cos( 2 R ) 1 1 2 （1）可以证明右式成立 X 2 2 ln R1 sin(2R2 )
r
7.5437x10-1 4.9929x10-2 1.5392x10-1 1.03x10-1 5.2079x10-1 5.2774x10-1 2.7505x10-1
舍
选定的样本
f y( j )
6.3940x10-4舍 9.3402x10-1取 7.9053x10-1取 7.8920x10-1取 1.3442x10-1舍 9.9861x10-1取 7.2184x10-1取 299.2444 334.0401 287.2799 276.2463 276.1648

n
n!
(n 1,2,3 )
若产生随机数
r0 , r1, r2
满足条件
r e
i i 0
n 1

ri
i 0
n
的n值，即为随机变量N的一个样本值。
例4-5 建筑结构楼面持久活荷载是一个与时间有关的随机过程， （即荷载变化的次数和大小是随机的），用泊松过程来描 述荷载变化的次数N ，即 n ( T ) P[N(T ) n] e-T （n 0,1,2, ) T为设计基准期，一般为 n! 50年； 为活荷载单位时间内的 平均变化次数 据以往统计居民搬家平均一次/8年
r f x (u) / f0
III舍选法产生随机数——图示
当样本点落入概 率密度曲线下面 时，抽样结果才 有效。
III舍选法产生随机数——举例
例4.5产生某钢筋屈服强度的5个样本值。 统计显示钢筋屈服强度符合上下有界的贝塔分布。 贝塔分布的概率密度函数为 fy a B b fy C f f ( f y ) A( ) ( ) c c 据统计 f y 310Mpa; f y 35Mpa
5.1.2对蒙特卡罗法简明的理解
1.已知 Z g ( x1 , x2 xn )
x , x x ; x , x x ;
1 2 n 1 2 n
2.用某种方法产生样本 3.计算结构的状态
( x1 , x2 xn )i
当然，样本的统 计特征应与已知 值一致。
0可靠 Z g ( x1 , x2 , xn ) 0极限状态 统计时以 为失效。 0失效
1 2
n
ˆ ,X ˆ , X ˆ ) Z g( X 1 2 n

3.进行了N次这样的试验（抽样），则失效概 率可由下式近似给出： n( Z 0)
Pf N
5.2蒙特卡罗法研究结构可靠度的优缺点


优点：回避了结构可靠度分析中的数学困难， 不需要考虑极限状态曲面的复杂性。 缺点：计算工作量大（借助于计算机） 现状：不作为一种常规的结构可靠度分析方法 来使用，只是用于一些复杂情况的可靠度分析 （国防、航天领域）。