1- 2.4平面与平面的位置关系第一课时两平面平行
课前自主学习，基稳才能楼高
预习课本P43〜45,思考并完成下列问题
1.空间两个平面有哪些位置关系?
2.如何判定两个平面互相平行?
3.两个平面平行的性质定理是什么?
［新扣初探］1.空间两个平面的位置关系
［点睛］①两个平面位置关系的分类标准是两个平面有无公共点；②判定平面相交的方法是公理2；③可以用反证法证明两个平面平行.
2.两个平面平行的判定定理
(1)文字表述：一个平面内的两条相交直线与另
_个平面平行，则这两个平面平行.
(2)图形表示：如图所示.
(3)符号表示：aUa、bUg a°b=P , a//p y b//p^a//p. ［点睛］①面内相交的条件不可少；②判定定理实现线面平行向面面平行的转化.
3.面面平行的性质定理
(1)文字表述：如果两个平行平面同时和第三个平面担套, 那么它们的交线平行.
(2)图形表不：如图所不.
K
(3)符号表示：a〃p, aCly=a, fiC\y=b,贝^a//b.
［点睛］①面面平行的性质定理的条件有三个，缺一不
可；②定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论知此定理可用来证明线线平行；③面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义.
4.两个平行平面间的距离
(1)与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段.
(2)两个平行平面的公垂线段都相等，把公垂线段的长度
叫做两个平行平面间的距离.
［小试身孚］
1.判断下列命题是否正确.(正确的打，错误的打“X” )
(1)不相交的两个平面一定互相平行.
(2)分别位于两个平行平面内的两条直线一定互相平行.(X
(3)夹在两个平行平面之间的平行线段一定相等. (V
2.若直线°U平面么，直线bU平面“，a//p,则°,方的位置
关系是________ .
答案：平行或异面
3.若直线"〃平面心a〃平面几贝妝与平面〃的位置关系是
答案：aU平面〃或4〃平面〃
绪台逋技法课堂讲练设计，举一能通类题
两个平面平行的判定
［典例］已知四棱锥RABCD中,底^ABCD
P
为平行四边形，点M, N, Q分别在B4, BD, PD
上，5.PM : MA=BN : ND=PQ : QD求证：平
绪台逋技法课堂讲练设计，举一能通类题面MNQ 〃平面PBC.
［证明］VPM : MA=BN : ND=PQ : QD,
AMQ //AD9 NQ //BP, •: BP U平面PBC, NQ
•••NQ〃平面PBC・
又底面ABCD为平行四边形，AMQ //BC9 TBCU平面PBC, MQQ平面PBC, •'•MQ 〃平面PBC・
又MQ QNQ =Q ,根据平面与平面平行的判定定理,
得平面MNQ 〃平面PBG
判定平面与平面平行的常用方法
(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法.
(2)利用判定定理.要证明两平面平行，只需在其中一个
平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
(3)利用平行平面的传递性，即。

〃“，p//y,则
〃(客观题用)
［活学活用］
如图，B为厶4仞所在平面外一点，M, N, G 分别
为AABC, AABD, /\BCD的重心.
(1)求证：平面MNG〃平面ACD；
⑵求S AM NG:S厶ADC的值.
解：⑴证明：连结BM, BN, BG并延长分别交AC,
AD,
CD于P, F, H.
VM, N, G分别为AABC, AABD, △BCD的重心，
z七BM BN BG宀
^MP=NF=GH=19
连结PF，FH9 PH,有MN//PF, NG//FH, •:MNCNG=N, PFGFH=F,
:.平面MNG //平面ACD
(2)由(1)可知鬻=篇=|，
・・・MG=|PH.
又:.MG=^L D.
同理NG=|1C, MN=^CD f
:.\MNGs/\DCA,其边长相似比为1： 3, :• D
S NMNG :S厶ADC= (H
题型二两个平面平行的性质的运用
［典例］如图所示，平面0〃平面伤△ABC, A4Z B f C'分别在°, 0 内，线段AA' , BB' , CC f共点于O, O 在°, 〃之间，若AB=2,
AC=19 ZBAC=9Q°9
题型二两个平面平行的性质的运用OA : OA f =3：2・求皿，B f C f的面积.
［解］相交直线AA，, BB'所在平面和两平行平面a, p 分别相交于AB, A, B f .
由面面平行的性质定理可//A1 B f•
同理相交直线BB，, CC'确定的平面和平行平面a, P 分别相交于BC, B' C',
从而BC〃B‘ C r・
同理易V£AC//A' C' •
:.ZBAC^ZB' A' C'的两边对应平行且方向相反，
A ZBAC=Z
B f A' C'・
同理ZABC=ZA f B9 C f , ZBCA = ZB f C f A •••△ABC与B f C f的三内角分别相等, •••AABC S A A'B f C f ,
9：AB//A f B f , AA f QBB f =0,
•••在平面ABV B1中，/\AOB^/\A f OB f•
.A f B f OA f 2
A A
B = OA =y
而5AABC=|4^*AC=|X2X1=1.
4 _4
••S MBC
Sy B1 C
平面与平面平行有关性质
(1)通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平
行，这是直接利用面面平行的性质定理.利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的平行直线的平面.
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另
一个平面
(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.
［活学活用］
如图，正方体4BCD-41BGD1中过BDi的平面，分别与AAi，CCi交于M, N.
求证：四边形BNDiM为平行四边形.
证明：设过BQ的平面为久
V 平面ABBpl ］ // 平面CDDiCi,
疣G 平面ABBp4i=BM,疣A 平面CDD\C、=D\N, :・BM//D说,同理可得
・•・四边形BN。

』/为平行四边形.
题型三
线面平行、面面平行的综合应用
［典例］如图所示，AB 9 CD 是夹在平行平 面以，〃之间的异面线段，且A, ce«, B, 求证：EF//p. ,点E, F 分别在线段AB, CD 上,且 AE EB CF FD
*
又a//p, :.EG//p.
同理可得GF 〃BD,而BDU0, GFQ0, :.GF//p.
yjEGHGF=G f ••・平面EGF 〃“.
又EFU 平面EGF,
:.EF//p.
线线、线面、面面平行关系的转化策略
面面平行的性质
线线、线面平行的判定、线面、面面平行的判定、平行' 线面平行的性质平行飞面平行的性质
面面平行的判定
［活学活用］
R 如图所示，在三棱柱ABG41BG中，E是AC的中
点，求证：AB】〃平面BE。

.
证明：如图，取AG的中点F,连结AF, BiF, EF,
TE为AC的中点，:.AF//C r E f
TAFQ平面BEG，GEU平面BEC\, :.AF〃平
fflBECi.
由E, F分别是AC, AiG的中点，可^EF/ZAA^/BB^
:.BE/ZB^F,又爲皿平面BEC” BEU平面:・B\F〃
R 平ffiBECx，\9B1FQAF=F, •••平面BEG //平面
AB/.
TABiU平面AB/, :.ABJ/平面
“多练提能•熟生巧”见“课时跟踪检测（八）
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