yt = Ae
两边取对数
rt
log yt = log A + rt
3、自回归趋势模型
yt = c1 + c2 yt −1
对数自回归趋势模型
log yt = c1 + c2 log yt −1
4、二次曲线趋势模型
yt = c1 + c2 t + c3 t
2
[例1] 百货公司销售预测
美国商业部：1986年1月至1995年12月百货公司 的月零售额（亿元）
对于季度资料
~ = 1 (0.5 y + y + y + y + 0.5 y ) yt t +2 t +1 t t −1 t −2 4 ~ 此时可大致认为 yt 已无季节和不规则波动，可看作 L × C
的估计
第二步 估计S×I
令
yt zt = ~ yt
L× S ×C × I ( = S × I) L×C
yt = L + S + C + I
Averages——Multiplicative Ratio to Moving Averages Multiplicative 第一步 用中心移动平均平滑序列yt
对于月度资料
~ = 1 (0.5 y + y + L + y + L + y + 0.5 y ) yt t +6 t +5 t t −5 t −6 12
zt即为 ×I的估计 即为S× 的估计
第三步 消除不规则变动，得到S的估计 对S×I中同一季节的数据进行平均，从而消除掉I。
例如，对于月度数据，假定 y1是1月份的数据， y2是1月份的数据， y3是1月份的数据， y4是1月份的数据，总共4年数据。 则
1 z1 = ( z1 + z13 + z 25 + z37 ) 4 1 z 2 = ( z 2 + z14 + z26 + z38 ) 4 M 1 z12 = ( z12 + z24 + z36 + z 48 ) 4
中心移动平均 3期中心移动平均
2、指数加权移动平均模型
（EWMA—Exponentially Weighted Moving Averages）
~ = αy + α (1 − α ) y + α (1 − α ) 2 y + L yt t t −1 t −2
即
~ = αy + (1 − α ) ~ yt yt −1 t
m阶弱平稳过程（Weakly Stationary）是指随机过程的联合 阶弱平稳过程（ 阶弱平稳过程 ） 概率分布的矩直到m阶都是相等的 阶都是相等的。 概率分布的矩直到 阶都是相等的。 阶弱平稳过程， 若一个过程 {r(t)} 是2阶弱平稳过程，那么它会满足下列条件： 阶弱平稳过程 那么它会满足下列条件： 随机过程的均值保持不变； （1）随机过程的均值保持不变； 随机过程的方差不随时间变化； （2）随机过程的方差不随时间变化； （3）r(i)和r(j)之间的相关性只取决于时间之差 j- i。 和 之间的相关性只取决于时间之差 。 [注]：弱平稳过程不一定是严平稳过程； 注 ：弱平稳过程不一定是严平稳过程； 而严平稳过程若存在二阶矩，则必是2阶弱平稳过程 阶弱平稳过程。 而严平稳过程若存在二阶矩，则必是 阶弱平稳过程。
= E[φ 12 y 2−1 + ε t2 + 2φ1 y t −1ε t ] = φ 12γ 0 + σ ε2 t
σ ε2 ⇒γ0 = 1 − φ12
协方差
γ 1 = E[ y t y t −1 ] = E[(φ1 y t −1 + ε t ) y t −1 ] = E[φ1 y t2−1 + y t −1ε t ] = φ1γ 0
[例] 白噪声过程 例
rt = ε t
E(ε t ) = 0
其中随机变量 ε t 满足
σ ε2 E(ε t ε t − j ) = 0
, ,
j=0 j>0
显然白噪声过程是一个2阶弱平稳过程。 显然白噪声过程是一个 阶弱平稳过程。 阶弱平稳过程
[例] 随机游走模型 例
Pt = Pt −1 + ε t
Q =T
ρ (k )2 ~ χ 2 ( K ) ∑ˆ
k =1
K
如果检验通过，则随机过程是白噪声。 如果检验通过，则随机过程是白噪声。
自相关函数还可被用于检验一个序列是否平稳。 自相关函数还可被用于检验一个序列是否平稳。
平稳时间序列的自相关函数随着滞后期k的增加而快速下降为0 平稳时间序列的自相关函数随着滞后期 的增加而快速下降为0 的增加而快速下降为
时间序列的当前值依赖于过去时期的观察值。 时间序列的当前值依赖于过去时期的观察值。 p阶自回归模型 阶自回归模型AR(p)： 阶自回归模型 ： y t = φ 1 y t −1 + φ 2 y t − 2 + L + φ p y t − p + δ + ε t
一阶自回归模型 阶自回归模型AR(1)： ： y t = φ 1 y t −1 + δ + ε t
第四步 调整S的估计，使其连乘积等于1或和等于12。
zm sm = 12 ∏ z i
12 z m sm = ∑ zi
第二节 随机时间序列模型
基本假定：时间序列是由某个随机过程生成的。 随机过程生成的 基本假定：时间序列是由某个随机过程生成的。 在一定条件下， 在一定条件下，我们可以从样本观察值中估计 随机过程的概率结构， 随机过程的概率结构，这样我们就能够建立序列的 模型并用过去的信息确定序列未来数值的概率。 模型并用过去的信息确定序列未来数值的概率。 常用模型：AR模型 MA模型 ARMA模型 ARIMA模 模型、 模型、 模型、 常用模型：AR模型、MA模型、ARMA模型、ARIMA模 VAR模型 ECM等 模型、 型、VAR模型、ECM等。
四、移动平均（Moving Averages）模型 移动平均（
q阶移动平均模型 阶移动平均模型MA (q)： 阶移动平均模型 ：
y t = µ + ε t − θ 1ε t −1 − θ 2ε t − 2 + L − θ qε t − q
一阶移动平均模型 阶移动平均模型MA (1)： ：
y t = µ + ε t − θ 1ε t −1
α越小，时间序列的平滑程度越高。
[例2] 美国月度新建住房数（1986年1月至1995年10月）
四、季节调整
（目的是“消除”时间序列中的季节成分引起的随机 波动）
Census Ⅱ
(美国普查局开发的标准方法)
移动平均比值法
(Ratio to Moving Averages)
yt = L × S × C × I
均值
µ= δ
1 − φ1
若 φ1 < 1,
则过程平稳。 则过程平稳。
Pt = Pt −1 + δ + ε t
[例] 带漂移项的随机游走过程 例 过程是非平稳的
平稳AR(1)过程的自相关函数 过程的自相关函数 平稳 过程
不妨设常数项为0 不妨设常数项为0
2 方差 γ 0 = E[(φ1 y t −1 + ε t ) ]
γ ( k ) 1 , k = 0 ρ (k ) = = γ ( 0 ) 0 , k > 0
样本自相关函数
1 ( rt − r )( rt − k − r ) T − k + 1 t = k +1

ˆ ρ (k ) =
∑
T
1 ( rt − r ) 2 T − 1 t =1
∑
T
样本自相关函数可以用来检验序列的所有k>0的自相关 k>0 函数的真实值是否为0的假设。 Box和Pierce的Q统计量
γ 2 = E[ y t y t − 2 ] = E[(φ12 y t − 2 + φ1ε t −1 + ε t ) y t − 2 ] = φ12γ 0
M γ k = φ1k γ 0
自相关函数
ρ0 = 1 γk ρk = = φ1k γ0
= φ1ρk−1
这说明自回归过程具有无限记忆力。 这说明自回归过程具有无限记忆力。 过程当前值与过去所有时期的值相关，且时期越早， 过程当前值与过去所有时期的值相关，且时期越早， 相关性越弱。 相关性越弱。
第一章
常用计量经济模型
时间序列的外推、 第一节 时间序列的外推、平滑和季节调整
一、时间序列的成分
趋势成分（Trend）、循环成分（Cyclical）、 季节成分（Season）、不规则成分（Irregular）
二、简单外推模型
（适用于yt有一个长期增长的模式）
由时间序列过去行为进行预测的简单模型 1、线性趋势模型 yt =c1+ c2 t 2、指数增长趋势模型
三、平滑技术
（目的是“消除”时间序列中的不规则成分引起的随 机波动，适用于稳定的时间序列）
1、移动平均模型 移动平均数=最近n期数据之和/n 例如3期移动平均
~ = 1 (y + y + y ) yt t −1 t −2 t −3 3
~ = 1 (y + y + y ) yt t −1 t t +1 3
2 σε , E(εtεt − j ) = 0 ,
E εt ) = 0 (
j =0 j >0
[例] 白噪声过程的自相关函数 例
协方差函数
γ ( k ) = Cov(ε t , ε t − k ) = E[(ε t − 0)(ε t − k − 0)] = E (ε t ε t − k )