《三角函数》【知识网络】应用弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简的基本关系式公式证明恒等式应用任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函图像和性质数值求角弧度制三角函数和角公式应用倍角公式应用差角公式应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为k 360 k Zx 轴上角：k 180 k Zy 轴上角：90k 180k Z3、第一象限角：0 k 36090k 360 k Z第二象限角：90k 360180k 360k Z第三象限角：180k 360270k 360k Z第四象限角：270k 360360k 360k Z4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角第一象限角：0 k 36090 k 360 k Z锐角：090小于90的角：905、若为第二象限角，那么为第几象限角？22k 2kk2k242k 0,4 , k 1,53 ,242所以在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1弧度的圆心角，记作 1rad .7、角度与弧度的转化：10.01745 118057.3057 181808、角度与弧度对应表：角度 0 30456090120 135 150 180 360弧度2 3 526 4323469、弧长与面积计算公式弧长： lR ；面积： S1l R1 R2 ，注意：这里的均为弧度制 .22二、任意角的三角函数P (x, y)1、正弦： siny xy；余弦 cos；正切 tanxrrr其中 x, y 为角终边上任意点坐标，rx 2y 2 .2、三角函数值对应表：度30456090 120 135 150 180 270 360弧度23 53 26 4 3 2 3 4 62sin1 2 3 13 2 1 0122222 2cos3 2 1 01 2 3 0121122222tan3 13无313 0无333、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （简记为“全s t c”）sin tan cos第一象限： .x0, y0 sin0,cos0,tan0,第二象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,4、三角函数线设任意角的顶点在原点 O ，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P ( x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点 T.y y TP PM oAA xo M xT（Ⅰ）（Ⅱ）yT yMo A M A x o xP（Ⅲ）P T （Ⅳ）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x, MP y ，于是有sin y yMP ， c o sx xx OMryr11，tan y MP ATxAT ．OM OA我们就分别称有向线段MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

5、同角三角函数基本关系式sin 2 cos 2 1tansintancot1cos(sin cos )2 1 2 sin cos(sincos ) 2 1 2 sin cos( sin cos， sincos ， sin cos ，三式之间可以互相表示 )6、诱导公式n口诀：奇变偶不变 , 符号看象限 ( 所谓奇偶指的是2中整数 n 的奇偶性，把 看作锐角 )nnsin(n)( 1) 2 sin , n 为偶数( 1) 2 co s , n 为偶数n 1； co s(n)n1.22(1) 2co s , n为奇数( 1) 2 sin , n 为奇数①. 公式（一）：与2k , k Zsin(2k) sin； cos( 2k ) cos； tan( 2k ) tan②. 公式（二）：与sinsin ； coscos ； tan tan③. 公式（三）：与sinsin ； coscos ； tan tan④. 公式（四）：与sin sin ； coscos ； tan tan⑤. 公式（五）：与2sincos ； cossin ；22⑥. 公式（六）：与2sincos ； cossin；22⑦. 公式（七）：与323cos ；cos3；sin sin 22⑧. 公式（八）：与323cos ；cos3；sin sin22三、三角函数的图像与性质1 、将函数y sin x 的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A倍（横坐标不变），得到函数y A sin x的图象。

2、函数y Asin x A0,0 的性质：①振幅： A ；②周期：21；④相位： x；⑤初相：。

T；③频率： fT23、周期函数：一般地，对于函数f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f x Tf x ，那么函数 f x就叫做周期函数， T 叫做该函数的周期.4、⑴y Asin(x)k2对称轴：令x k，得 x2对称中心：x kk， (k,0)(k Z) ；，得 x⑵ y A cos(x)对称轴：令x k，得 x k；k2k2对称中心： x k，得 x， (,0)( k Z ) ；2⑶周期公式 :①函数 y A sin( x) 及 y Acos( x2)的周期T(A 、ω、为常数，且A≠0).②函数 y A tan x的周期T(A 、ω、为常数，且A≠0).5、三角函数的图像与性质表格函性数y sin x质图 像定义 R域值 1,1域当 x2kk Z 时，2最 ymax1；值2kk Z 时，当 x2y min1．周期 2性奇偶 奇函数性在2k , 2k22单 k Z 上是增函数；调 性2k , 32k在22k Z 上是减函数．对对称中心 k ,0 k Z称性对称轴 x kk Z2y cos xR 1,1当 x 2k k Z 时，y max 1 ；当 x 2k k Z 时， y min1．2偶函数在2k ,2 kk Z上是增函数；在 2k ,2kk Z上是减函数．对称中心k ,0 k Z 2y tan xx xk ,k Z 2R既无最大值也无最小值奇函数在 k , k2 2k Z 上是增函数．对称中心k ,0 k Z2无对称轴对称轴 x k k Z6. 五点法作y Asin( x) 的简图，设 t x，取0、、、3、 2来求相22应 x 的值以及对应的y 值再描点作图。

7.y Asin( x) 的的图像8.函数的变换：（1）函数的平移变换① y f (x)y f ( x a)(a 0) 将y f (x) 图像沿x轴向左（右）平移 a 个单位（左加右减）② y f (x)y f ( x) b(b 0) 将y f (x) 图像沿y轴向上（下）平移 b 个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：1① y f (x)y f (wx)( w 0) 将 y f ( x) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（ w 1缩短，0 w 1伸长）w② y f (x)y Af ( x)( A 0) 将 y f ( x) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（A 1伸长，0 A 1缩短）（3）函数的对称变换：①y f ( x)y f ( x) )将y f (x) 图像绕y轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）②y f ( x)y f (x) 将y f ( x) 图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③ y f (x)y f ( x)将 y f ( x)图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④ y f (x)y f ( x) 保留y f (x) 在x轴上方图像，x轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1 ）sin()sin cos sin cos(2 ）sin()sin cos sin cos(3 ）cos()cos cos sin sin(4 ）cos()cos cos sin sin(5 ）tan()tan tant an t a n t a n1t a n t a n 1tan tan(6 ）tan()tan tant an t a n t a n1t an t an 1tan tan(7) a sin b cos=a2b2 sin()(其中,辅助角所在象限由点(a, b) 所在的象限决定 , sin b,cos a, tan b，该法也叫合一变形).a2b2a2b2a(8)1tan tan(4)1tan tan()1tan1tan42.二倍角公式（1）sin 2a2sin a cosa（2） cos 2a cos2 a sin 2 a 1 2sin 2 a 2cos2 a 1（3） tan 2a2 tan a 1 tan2 a3.降幂公式：cos2 a 1 cos2a（ 2）sin2a 1 cos2a （ 1）22 4.升幂公式（1）1cos 2 cos2（2）1cos 2 sin 222（3）1sin(sin cos) 2（ 4）1sin 2cos222（5）sin 2 sin cos225.半角公式（符号的选择由所在的象限确定）2（1）（3）sina1cosa ，cosa 1 cosa2，22（ 2）2tana1cosa sin a 1 cosa21cosa 1cosa sin a6. 万能公式 :2 tan1tan2（1）sin 2 ,（ 2）cos2,1tan21tan2222 tan（3）tan 2 .1tan 227.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。

采用公式：a sinb cos a2b2sin() 其中cos a,sin ba 2b2a2b2，比y sin x 3 cos x12( 3)2(1sin x3cos x)如：12( 3)212( 3)2132(sin xcos cos x sin) 2 sin( x) 2( sin x cos x)22333（ 3）注意“凑角”运用：，，12例如：已知、( 3 ,) , sin()3，sin()12，则 cos() ?454134（ 4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“ 1”可转化为“sin2cos2”（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：1cosa 常用升幂化为有理式。