三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ

FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ

FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
τ

FS
S
* z
I zb1
式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到 截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中 性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。
切应力沿腹板高度的分布规律如图所示，仍是按
抛物线规律分布，最大切应力τ max仍发生在截面的 中性轴上。
2.翼缘上的切应力
翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y 轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平 行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小 时，竖向切应力很小，一般不予考虑。
l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m −m
截面上K点的切应力。
解：先求出m −m截面上的剪力为3kN。
截面对中性轴的惯性矩 A
A*
F F m l/6 mB
K
y y* zh
l/3 l/3 l/3
b
Iz

bh3 12

0.1 0.16 3 12
0.341 10 4 m4

0
Iz
Iz
经整理得
τ

FS
S
* z
I zb
τ

FS
S
* z
I zb
式（10−8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应
力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面
积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；
b为截面的宽度。
b
对于矩形截面梁，由图可知 h
z y
τmax
S
* z
b(h 2
由 Fx 0
FN1
dFS FN2
dx
得
FN2 FN1 dFS 0 （a）
其中
FN1
σdA
A1
My1 dA M
I A1
z
Iz
A1
y1dA

MS*z Iz
（b） b
式中的A1是横截面上距中性轴为y的横
线以外部分的面积，如图所示。
h
z y
S
* z

A1 y1dA
是A1对中性轴的静矩。
y A1
FN1

MSz* Iz
同样有
FN 2

(M

dM
)S
* z
Iz
（c）
由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应
力可认为是均匀分布的，所以有
dFS τ'bdx （d）
FN1
dFS FN2
dx
将FN1、FN2、dFS代入式（a），得
(M

dM
)S
* z

MS*z
τ' bdx

y) y
1 (h 22

y)

b (h2 24

y2)
y A1
(a)
(b)
将其代入上式，可得
τ
FS
h2 (
y2)
2Iz 4
τ FS ( h2 y 2 ) 2Iz 4
此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高
按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘
（ y h）处，τ=0，而在中性轴上（y=0）的切
的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即
τmax

F S* S,max z,max Izb

τ
此式即为切应力的强度条件。
在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强 度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计 算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件 设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以一 般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计 截面，然后再按切应力强度条件进行校核。但在少数 情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。 例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载， 因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或 焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度 之比小于一般型钢截面的相应比值时。
圆形截面
τmax

4 3

FS A
FS为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。
薄壁环形截面
τmax

2

FS A
FS为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。
五、梁的切应力强度条件
对于等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力
最大的横截面的中性轴上。即
τ max

F S* S,max z,max Izb
为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生
§10-3 梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件 一、矩形截面梁的切应力
1.两条假设 （1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。 2.切应力公式的推导
从图所示的梁中取出长为dx的微段。
微段梁上的受力情况如图所示。 微段梁上的应力情况如图所示。
FS
M
2
应力有最大值，如图所示。即
b
τmax

FSh2 8I z

3FS 2bh

3FS 2A
τmax

3FS 2A
h
z y
y A1 (a)
τmax (b)
式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面
梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。
例题10−5 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：
面积A*对中性轴的静矩 S*z A* y* 0.1 0.04 0.06 0.24103m3
则K点的切应力
τ

FS S z Izb

3103 0.24103 0.341104 0.1

0.21Pa
0.21MPa
二、工字形截面梁的切应力
1.腹板上的切应力