梁的应力及强度条件
M max 67.5 max 107 104.2MPa Wz 6.48
求曲率半径
120
y
180
z
x
M
M1
M m a x q L²/ 8
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
§8-3 梁的正应力强度条件
1、危险面与危险点分析:
最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上;
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
-q L/ 2
x M
q L²/ 8
M max
q= 3.6kN/m A
Q q L/ 2
求最大应力并校核强度
Mmax 6Mmax 6 4050 2 max Wz bh 0.12 0.182
L= 3m
B
b h2 ( y2 ) 2 4
Q
矩
Q h2 ( y2 ) 2I z 4
max
二、其它截面梁横截面上的剪应力
Qh2 3Q 3Q 1.5 8I z 2bh 2 A
QS z 1 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为: bI z
其中Q为截面剪力,S z为y点以外的面积对中性轴 的静矩, I z为整个截面对中性轴的 惯性矩,b为y点处的截面宽度。
、
q= 3.6kN/m A
Q q L/ 2 x
例 矩形(bh=0.12m0.18m)截面
木梁如图,[]=7 MPa,[]=
B
L= 3m
0. 9 MPa,试求最大正应力和最大 剪应力之比,并校核梁的强度。 解:、画内力图求危面内力
Qmax qL 3600 3 5400N 2 2
M max [ ]Wz
例5 3 3 : 有一承受管道的悬臂梁 ,用两根槽钢组成,管
130MPa。 道上作用重物各重 G 5.39kN。许用应力
试选择槽钢型号。
G C
300
G
解:弯矩图如图。
B
A
D
510
100
M max 5.98kNm
max
M 2WZ M 2
R与(H,H )可进一步简化为一合 力。
e
h
剪力作用线:截面上剪应力的合力作用线。 如图, Hh Q e
R
三、剪应力强度条件
1、危险面与危险点分析:
一般截面,最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上;最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
性轴处。
M
Q
带翼缘的薄壁截面,最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同;还有一个可能危险的点,在Q和M均很大的截面
1 A 1m
q=60 kN/m B 2m
1 2
30
例 :受均布载荷作用的简支梁 如图所示,试求: (1)1——1截面上1、2两点 的正应力; (2)此截面上的最大正应力; (3)全梁的最大正应力; (4)已知E=200GPa,求1—1 截面的曲率半径。 解:画M图,求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
第八章
§8–1 概述
梁的应力及其强度条件
§8–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §8–3 梁的正应力强度条件
§8–4 梁的剪应力和剪应力强度条件梁的合理截面
§8-1 概述 • 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时,该段
梁的变形称为纯弯曲。 P P a a
A
Q x
x M
Iz BH 2 bh3 回 字 框____W z (1 ) 3 ymax 6 BH
h
b B
H
二、 纯弯曲理论的推广 横力弯曲:梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时,横 截面是不仅有正应力,而且有剪应力。 梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的 假设不再成立。
l 对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁,横截 h 面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算,满足工程上的 l 精度要求。梁的跨高比 越大,误差就越小。 h M ( x) max Wz
B
§8-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴
中性层
(一)变形几何规律: 1. 梁的纯弯曲实验
a
c
横向线(a b、c d)
保持为直线,高度不变, 相互倾斜,仍垂直于纵
M
b a
d c
M
向线;纵向线变为弧线,
凸边伸长,凹边缩短, 中间有一纵向线长度不
变。
b
2:两个概念
x 1
1
120
y
180
z
x
M
M1
60kNm
M m a x q L²/ 8
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
1 A 1m
q=60 kN/m B 2m
1 2
30
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
(一) 塑性材料 1、中性轴尽可能是对称轴。 2、在面积相等的情况下,选择抗弯模量大的截面。
D
2 D1
z
Wz1
D 3
32
max
4Q 1.33 m 3A
当
4
a 2时, a
R;
Wz 2
( a D1 / 2)
a a
z
bh2 ( R)3 1.18 Wz1 6 6
应力之比
四、梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比
h
北宋李诫于1100年著« 营造法式 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b= ) 1.5
b 英(T.Young)于1807年著« 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 为
h h 2 时, 强 度 最 大 ; 3 时, 刚 度 最 大 . b b
Z
(三)、采用变截面梁 ,如下图:
最好是等强度梁,即
P
max ( x)
M ( x) W ( x)
6 M ( x) b
若为等宽度矩形截面,则高为
X
h( x)
同时
max = 1.5
Q Q , h( x) 1. 5 bh(x) b
max 1.5 m
当
2 D1
4
[ D 2 (0.8 D ) 2 ]
4
时, D 1.67D1
Wz 3
0.8D
D
D 3
32
(1 - 0.84 ) 2.75Wz 1
z
max 2 m
2 D1
当
2 D1
4
2 2a1 时, a1
Wz 4
3 bh2 4a1 1.67Wz1 6 6
1 1 1
1
y ) d d
d
y
O A1
O1 B1
x
x
y
......
(1)
(二)、物理关系:
假设:纵向纤维互不挤压。于是, 任意一点均处于单项应力状态。
y
x E x
Ey
...... (2)
(三)静力学关系:
N
x
dA
A
Ey
A
1
bh2 Wz 6.48104 m3 6
M1 y 60 60 1 2 105 61.7MPa Iz 5.832
120
y
M
M1
M m a x q L²/ 8
180
z
x
1 A 1m 1
q=60 kN/m B 2m
1 2
30
1max
M1 60 107 92.6MPa Wz 6.48
1 MZ EI z
...... (3) EI z 杆的抗弯刚度。
x
My Iz
...... (4)
(四)最大正应力:
m a x M
Wz
...... (5)
Iz Wz ymax
抗弯截面模量。
d D
d D
Iz D 3 圆 环 ____W z (1 4 ) ymax 32
的腹、翼相交处。(以后讲)
M
Q
2、剪应力强度条件:
max
Qmax S z max b Iz
3、强度条件应用:依此强度准则也可进行三种强度计算:
校强度: ● 强度校核
● 截面设计 ● 载荷设计 4、需要校核剪应力的几种特殊情况: 梁的跨度较短,M 较小,而 Q较大时,要校核剪应力。 腹板厚度较小的薄腹截面梁,要校核剪应力 铆接或焊接的组合截面梁,要对铆接或焊接面校核剪应力
6 .25 MPa < 7 MPa
x
-q L/ 2
x M
q L²/ 8
Qmax 1 . 5 5400 1.5 max A
0 . 12 0 . 18
0 . 375 MPa < 0 . 9 MPa
max M max 2 A L 16.7 max W z 3Q h
M
2、正应力强度条件:
max
M max Wz
3、强度条件应用:依此强度准则可进行三种强度计算:
● 强度校核:
M max max [ ] Wz
M max max [ ] Wz Wz [ ] M max