9
两正弦信号的相位关系
= u i =0，
u与i 同相位；
= u i 0 ，
u超前i ，或 i 滞后于u ；
= u i=，
u与i 反相;
10
例1
在某电路中，i 100 sin(6280t )mA
4

（1）试指出它的频率、周期、角频率、幅值、有 效值及初相位各为多少？（2）画出波形图； 解：
17
若用复数的模表示正弦量的大小（有效值、幅值）， 用复数的幅角表示正弦量的初相位，则一个复数或复
平面上的一个矢量就可用来表示一个正弦量。
相量：表示正弦量的复数。
U

I Um


Im

用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化成标准 形式，再用相量表示。 标准形式：

i I m s in t
正弦交流电路：是指含有正弦电源（激励）而且 电路中各部分所产生的电压和电流（响应）均按正
弦规律变化的电路。
正弦电压、电流是在通讯、无线电技术以及电力 系统中最基本、最常见的激励信号。
2
一、正弦量
Im
i I m s in t

t
ψ
T
特征量:
Im：电流幅值（最大值） ω：角频率 ψ：初相角（或初相位）
4
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
5
2.幅值与有效值：反映正弦量大小的物理量
i I m sin t
瞬时值，小 写字母表示 最大值，大写字母表 示加下标 m。
u 100 cos 45 j100 sin45
u 1 0 0 2 s in( t 4 5 )
20
相量图：按照各个正弦量的大小和相位关系， 用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形。 在分析线性电路时，正弦激励和正弦响应为同 频率的正弦量，这样，我们就可以把频率这个要素 作为已知的或是特定的，所以，在画相量图时只需 画出幅值（或有效值）和初相位即可，画相量图时， 实轴、虚轴可以省去。
2、大小关系 Um=ImR U=IR
满足欧姆定律
3、相量关系
I I0

U U0 RI0

RI
25

满足欧姆定律
二、电感元件电压电流关系的相量形式
设： i I m sint
电感的伏安特性
di u L dt
di u L LI m cos t LI m sin( t 90) dt
U m LI m
U LI
令XL﹦ωL﹦2πf L ，称为感抗，单位为欧姆 Ω
Um U L X L Im I
27
i I m sint
u U m sin( t 90)
f 越高，XL越大，对高频交流电流阻碍越大； f 越低，XL越小，对低频交流电流阻碍越小； f﹦0 ，XL﹦0，电感元件对直流可视为短路。 电感元件具有阻高频电流，通低频电流的作用。 3、相量关系 jX I L I I0 U U90 LI90 X L I90
A B r 1 1 r 2 2 r 1 r 2 ( 1 2 )
A r1 1 r1 ( 1 2 ) B r2 2 r2
14
90 j：旋转 算子
j2 =﹣1 是虚数的单位，复数运算中，当任
一相量乘上j时，模不变，幅角增大 90 ，即按 逆时针方向旋转 90 ；当一个复数除以j（乘上
I i

I I
21


例4 已知正弦量

I1 5 j 5 A

, I 2 5 j5 A ,

I 3 5 j 5 A , I 4 5 j 5 A 。试用相量图表示它们。

解：
I 1 5 j 5 5 245 A


＋j
I 2 5 j 5 5 2 45 A
AB＝ 6 860 (30) 4830
A 6 ＝ 60 ( 30) 0.7590 B 8
16
正弦量的相量表示法 分析正弦稳态电路的几个重要概念：
一个正弦量由它的幅值、角频率和初相位三 个要素所决定的。
在线性稳态交流电路中，激励与响应都是同 频率的正弦量。 电路中待求的电压、电流只有幅值与初相位 是未知的。

Im
e
j

Im
(cos j sin )
U 10 60 V 10 (cos 60 j s in 60 )V

u 1 0 2 sin ( 3 1 4 t 6 0 )V

U 10 2 s in ( 314 t 60 )V


U m 10 2 s in ( 314 t 60 )V
﹣j）时，模不变，幅角减小 90 ，即按顺时针
方向旋转 90 ，所以，称j为旋转 90 算子。
15
例2
解：
已知复数 A= 660 ，B＝ 8－ 30，
求它们的和、差、积、商。
A＝ 660 6cos60 ＋j6sin60 ＝ 3 ＋j3 3 B＝8 30 8cos(-30) j8sin(-30)＝4 3－j4 A B＝ (3 4 3 ) j(3 3 － 4 ） A－B＝ (3 － 4 3) ＋j(3 3 ＋ 4 ）
U U0


I I90 CU90 jC U


1 U I jX C I j C
U m jX C I m


31
i
+
瞬时值关系
L u
di u L dt
i
+
C
u
du iC dt
-
u iR
Um U R Im I
大小关系
Um U 1 Um U XC L X L Im I C Im I
I m CU m
Um U 1 XC Im I C
30
u U m sint
i I m sin(t 90)
f 越高，XC越小，对高频交流电流阻碍越小； f 越低，XC越大，对低频交流电流阻碍越大； f﹦0，XC→∞，电容元件对直流可视为开路。 电容元件具有阻低频电流，通高频电流的作用。 3、相量关系
t
：正弦量的相位角或相位
初相：t = 0时的相位 (t ) t 0

相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等 于它们的初相之差。如
u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
8
i
u
i
u
t
相位差为： (t u ) (t i ) u i

19

例3
判断下列各式是否正确？
I 1030


I 1 0 3 0 u 1 0 0 s in( t 4 5 )
U 100 sin( t 45)
i 5 2 sin( t 60) 560
i 1030
I 1 0 3 0
6280 rad / s
1 1 T 1ms f 1000
6280 f 1000 H Z 2 2
I m 100 mA
I m 100 I 70.7mA 2 2

11

4
rad 或 45
二、正弦量的相量表示法
i
波形图 瞬时值表达式 相量表示法 相量图
U jX L I

U m jX L I m


28
三、电容元件电压电流关系的相量形式
设： u U m sint
du 电容的伏安特性 i C dt
dU m sint iC CU m cos t dt CU m sin(t 90) u
C
电容元件上的电压、 电流为同频率正弦量
瞬时值：正弦量任一瞬间的值。u，i 幅值（最大值）：瞬时值中最大的值。Um，Im 为确切反映正弦电量在电路转换能量方面的效应， 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表 指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。 标准电压220V，是指供电电压的有效值。
6
有效值概念
热效应相当
i(t) I
R
第2章 正弦交流电路
正弦交流电的基本概念 正弦交流电路的相量模型 简单正弦交流电路的分析 正弦交流电路中的功率与功率 因数的提高 三相正弦交流电路
1
§2.1 正弦交流电的基本概念
随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦交 流电。表达式为：
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
3
Im
1.周期与频率：反映正弦量 变化快慢的物理量

T
t
周期T：正弦量变化一次所需要的时间。 单位：秒 （s）。 频率f ：正弦量每秒内变化的次数。 单位：赫兹 （ Hz ）。 1 周期与频率的关系： f T 角频率ω：正弦量每秒内变化的弧度数。 单位：弧度/秒（ rad/s）。 2 2 f 角频率与周期及频率的关系： T
U m sin( t 90)
电感元件上的电压、电 流为同频率正弦量
26
iL uL
i I m sint
u U m sin( t 90)
U

1、相位关系