▪ Monte Carlo方法在求解一个问题是，总是需要根据 问题的要求构造一个用于求解的概率统计模型，常见
的模型把问题的解化为一个随机变量 X 的某个参数
的估计问题。
▪ 要估计的参数 通常设定为 X 的数学期望（亦平均
值，即 E(X ) ）。按统计学惯例， 可用 X 的样
本( X1, X 2,...X n ) 的平均值来估计，即
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
4
蒙特卡罗方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概率统 计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是某个事件的概 率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、 数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算 术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法 的基本思想。
Honeywell Confidential
12
随机数表
▪ 随机数表是由0,1,2,…,9十个数字组成，每个数字以0.1的 概率出现，数字之间相互独立。
▪ 方法：如果要得到n位有效数字的随机数，只需将表中每 n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前边加上 小数点即可。
例如：某随机数表第一行数字为7634258910…，要想得到三位有效数字 的随机数依次为：0.763，0.425，0.891
⑤程序结构简单，易于实现 。
缺点 ①收敛速度慢。 ②误差具有概率性。
③进行模拟的前提是 各输入变量是相互独 立的。
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
18
①能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实 验过程
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
6
计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针问 题）化为数学问题，在计算机上实现。
Presentation_ID
加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一特点，
决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
21
程序结构简单，易于实现
▪ 在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单， 分块性强，易于实现。
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
17
蒙特卡罗方法的特点
优点
①能够比较逼真地描述具有 随机性质的事物的特点及物 理实验过程。
②受几何条件限制小。
③收敛速度与问题的维数无 关。
④误差容易确定。
8
例子
某投资项目每年所得盈
利额A由投资额P、劳动
生产率L、和原料及能
源价格Q三个因素。
N
1
A aP bL2 cQ 2 d
根据历史数据，预测未来。
1
A aP bL2 cQ 2 d
收集P,L,Q数据，确定分布函 数 f (P), f (L), f (Q)
模拟次数N；根据分
其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解 决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学家 冯.诺伊曼（Von Neumann）和乌拉姆（Ulam）等提出蒙特卡罗模 拟方法。 由于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙 特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟 的名称，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到 人们的普遍接受。
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
7
①建立概率统计模型
N
②收集模型中风险变量的数据 ， 确定风 ⑤根据随机数在各风
险因数的分布函数
险变量的概率分布中
随机抽样，代入第一
步中建立的数学模型
N
N
布函数，产生随机数
产生 N个A值
N
抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型
统计分析，估计 均值，标准差
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
9
X
模型建立的两点说明
ba
a (b a)r1
f [a (b a)r1] f (m)r2 br 1 a s 1
m r，s为r函数s 参2数
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential


X

1 n
n k 1
Xk
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
10
收集模型中风险变量的数据 ， 确定 风险因数的分布函数
▪ 这时就必须采用主观概率,即由专家做出主观估计得到的概 率。
▪ 另一方面,在对估测目标的资料与数据不足的情况下,不可能 得知风险变量的真实分布时,根据当时或以前所收集到的类 似信息和历史资料,通过专家分析或利用德尔菲法还是能够 比较准确地估计上述各风险因素并用各种概率分布进行描 述的。
▪ Crystal ball软件对各种概率分布进行拟合以选取最合适的 分布。
15
常用概率分布的抽样公式
分布名称 [a，b]均匀分布
指数分布 正态分布
三角分布
分布
抽样公式
注
a b a r
ln r




12
ri
6
i1

a bacar,0r ca
ba
b b ab c1 r, c a r 1 a，b，c为三角分布的参数
蒙特卡罗模拟方法 与项目风险案例分析
Honeywell Confidential
1
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定 事件的“概率”。从方法特征的角度来说可以一直追溯 到18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著 名的蒲丰问题。
1707-1788
Presentation_ID
③根据风险分N 析的精度要求，确 N
定模拟次数
④建立对随机变量的抽样 方法，产生随机数。
⑥ N个样本值
⑦统计分析，估计均 值，标准差
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.
Honeywell Confidential
3
20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可 以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题 才有了可能。
16
三角分布 三角形概率分布是一种应用较广连续型概率分布,
它是一种3点估计: 特别适用于对那些风险变量缺乏历 史统计资料和数据,但可以经过咨询专家意见,得出各参 数变量的最乐观值( a) ,最可能出现的中间值( b)以及最 悲观值(m ) ,这3个估计值( a,b, m )构成一个三角形分 布。
Presentation_ID

g 0 g(r) f (r)dr
从机变分量布通的密过值度某g函种(r数1试)，f验(rg)，中(r2得抽)，到取…ＮＮ，个个g观子(rN察样)的值算r1，术r1，r平2，r均2，…值…，，rN，rN（）用，概将率相语应言的来Ｎ说个，随
1 N
g N N i1 g(ri )
作为积分的估计值（近似值）。
Honeywell Confidential
ห้องสมุดไป่ตู้
20
③收敛速度与问题的维数无关
▪ 由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的收敛
速度为
，与问题本身的维数无关O。(N维数1/的2 )变化，只引起
抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使
用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。维数的增
Honeywell Confidential
19
②受几何条件限制小
▪ 在计算s维空间中的任一区 域Ds上的积分，无论区域 Ds的形状多么特殊，只要 能给出描述Ds的几何特征 的条件，就可以从Ds中均 匀产生N个点
4 2
-4
-2
-2
-4
2
4
Presentation_ID
© 2008 Honeywell Systems, Inc. All rights reserved.