三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.
例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.
对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 ．整个放水过程无能 量损失。 2米
3 5 (700000 1000h 2 3h 2 )
0≤h≤100
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.
四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例5.1.4(独家广告模型)广告是调整商品销 售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大, 当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售 速度的增高而降低； *3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：
建模 记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限；
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
1 16 代入条件，求得c=42 ， , 最后得 k ln 3 21 1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =25.870， e
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为
dT 与T m成正比 dt
数学语言
建立微分方程
dT k (T m ), dt T (0) 60.
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对的 现认 实识 对来 象源 *与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识. *通过对数据和现象的分析对事 物内在规律做出的猜想(模型假设).
模型特点：有明确的物理或现实意义
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻 t 的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响.
2
记
令Δt
r 1002 (100 h)2 200h h2
0, 得
dV=－πr2 dh，
（ 2）
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
2 0.62 2 ghdt ( 200h h )dh, h 100 . t 0
积分后整理得
t

4.65 2 g
改写模型
dS A( t ) p ( M S ( t )) S ( t ) dt M
dS A( t ) p ( M S ( t )) S ( t ) dt M
假设1*
市场“余 额”
假设2*
销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.
直接求 很困难
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
？
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际 的” , 常涉及到导数. 运用已知物理定律 常 机理分 用建 析法 利用平衡与增长式 微立 分方 运用微元法 方法 程 应用分析法
dV 0.62 2 ghdt
水位降低 体积变化
(1)
h(t)
r1 r2
h+Δh
在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为
V V ( h) V ( h h)
h[3(r r ) o(h)]
2 1 2 2
r h o(h)
A, A( t ) 0,
0 t ; t .
λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度.
直接建立微分方程
dS S (t ) pA( t )(1 ) S ( t ) dt M
称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力.
模型分析：是否与前三条假设相符？
一、运用已知物理定律
建立微分方程模型时
应用已知物理定律， 可事半功倍 例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差.
分析： 放空容器
？
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的 流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时 间t 的变化率”，即
dV Q 0.62 S 2 gh dt
S—孔口横截面积（单位：平方厘米）
h(t) —水面高度（单位：厘米） t—时间（单位：秒） 当S=1平方厘米，有
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵；
3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 即有
同理 令Δt
Δx =－ayΔt, Δy =－bxΔt,
0, 得到微分方程组：
平衡式
dx ay, (a 0) dt dy bx , (b 0) dt
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是： {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}
+ {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} 更般 一化 基本模型
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程. 输入量 含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量 含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立 例5.1.2 战斗模型 两方军队交战, 希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型 达到如下目的：
1. 预测哪一方将获胜？
2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少 士兵才能赢得这场战斗？
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加 战斗， x(t)与y(t)都是连续变量.