平面几何知识点总结
4.托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组
对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和). 即:
1
PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l .1=⋅⋅∆∆RB
AR
QA CQ ,则、、长线分别交于或它们的延
、、的三边并且与的顶点,不经过梅涅劳斯定理:若直线三点共线;
、、,则,这时若
或数为边上的点的个三点中,位于、、并且三点,上或它们的延长线上的、、三边的分别是、、梅涅劳斯逆定理:设R Q P 1PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P .2=⋅⋅∆∆RB
AR
QA CQ 1
:.3=⋅⋅∆RB
AR
QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 条件是三线共点的充要、、边上的点,则、
、的分别是、、塞瓦定理:设M
Q
R
A
C
P
B
;
内接于圆,则有:
设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅;
内接于圆时,等式成立并且当且仅当四边形中,有:定理:在四边形ABCD BD
AC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅三点共线;
、、则,、、的垂线,垂足分别为、、作外接圆上一点西姆松定理:若从F E D F E D AC AB BC P ABC ∆.5的外接圆上;
在则在同一直线上,、、若其垂足作垂线,的延长线或它们的三边向点西姆松的逆定理:从一ABC P N M L ABC P ∆∆)(.6
;
,则、
于分别交和,连接和弦任意引
的中点蝴蝶定理:一个圆的弦NP MP N M AB CF DE EF CD P AB =.7 ;
2.8GH
OG H G O H G O ABC =∆且三点共线,
、、,则、、分别为的外心、重心、垂心欧拉定理:设
三线共点。
、、则,、、外面,做三个正三角形的的小于费马点:在每个内角都''''''120.9CC BB AA ABC CAB BCA ABC ∆︒
三角形。
,此三角形称为拿破仑中心组成一个正三角形,则此三角形的边为边作三个正三角形三角形的外面,各以三拿破仑三角形:在任意.10
的莫莱恩线。
为三点共线。
这条直线称、、,则、、长线交于的延、、别和作其外接圆的切线,分、、三个顶点莫莱恩线:过ABC F E D F E D AB CA BC C B A ABC ∆∆.11
三点共线。
、、,则、、的中点分别是以及线段、,对角线延长线交于的、,另一组对边的延长线交于、的一组对边牛顿定理:设四边形Z Y X Z Y X EF
BD AC F BC AD E CD BA ABCD .12
共线。
、、的交点和、和、和三边对边求是凸的不要边形巴斯卡定理:圆内接六N M L BC EF FA CD DE AB ABCDEF )(.13
共点。
、、的三条对角线六边形卜利安香定理:圆外切CF BE AD ABCDEF .14
15.到三角形三顶点距离之和最小的点――费马点 到三角形顶点距离的平方和最小的点――重心 三角形内到三边距离之和最大的点――重心
16.等周问题:
在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大;
在周长一定的简单闭合曲线的集合中,圆的面积最大;
在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小;
在面积一定的简单闭合曲线的集合中,圆的周长最小;。