底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动, 现环受一扰动
偏离竖直面0.1弧度, 并开始倒下. 已知B=0.5T, 环半径
r1=4cm, 截面半径r2 =1mm, 金的电导率 =4.0107/·m, 设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时
时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.
当环倒下时 变 d
R3 60
I4
例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺
线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗
细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为
其分界面，半圆环电阻分别为R1 和 R2，且R1 >R2,，如
图，当B增大时，求: Ua > < = Ub
a
a
R1
R2
b
Edl r2
d
B
I
dt
R1 R2
R1
R2
2
b2
U aU bR 1I22 R R 11 R R 22
R 1R 2 U aU b
由于自己线路中的电流的变化 而在自己的线路中 产生感应电流的现象叫自感现象，这样产生的感应 电动势叫自感电动势。
自感系数（简称自感）
I
i
d dI
L dt dt
L I
L i
B
a
a
D
D
D
I左 C I右
I
2ar
2 ar 2ar
解 ： 左 右 两 侧 动 生势电均动为
2vBacos 2vBa
4
由基尔霍夫定律，或串并联电路
D
I 2vBa 2vB ar 2ar r 2r
I I左 I右
2arI右 2arI 0 2arI左 2arI 0
2）导线框所受磁场力:
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的一般表
示式为：
d d
B dS
dt dt S
如果回L E路kL及d其l 包围 的 面 积S 保Bt持 d不S变，则
感生电动势：
动生电动势:
由于磁场随时
导体在稳恒磁场
间变化而引起
中运动时,所产
的感应电动势。
生感应电动势。
感生电场的计算
（1） 原则
N
O
B
M
B
A
N
V dl
B dF
A
1） (V B ) dl
L
BL 2
VB dl lBdl
0
2
2)
i R
方向：OA
3) dFid lB dFidlB
4) dM dF l
L
B2L4
M iBld l
0
4R
直流电路
1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等 于流出节点的电流强度之和
其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相
连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为
的水银流过矩形管，流速为v0. 设管中水银的流速与 管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为P0。 在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感
应强度为B。求 加磁场后水银的流速v
B
解：设加磁场后水银的流速v
的直电阻丝MON相连。 求：1） 电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电
阻丝MON上电流为零。 M
30
O
30
60
解：总的电动势
EdldBR29V dt L K
124.5V
N
Edl
dBdS
LM
dt
S
1)
K 断开，电流方向如图
I3 I1 I2
30
——节点电流定律(基尔霍夫第一定律)
2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降 落的代数和等于零。
——回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
欧姆定律的微分形式
JE
1
电 导率 电 阻 率
R l l S S
例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感
应强度为B 的均匀磁场与图面垂直，一边长为a的正
方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动，滑动时导
L
S
E1
r1 2
dB dt
E2
r2 2
dB dt
y
E1
E E2
E
r1 O
r2 O´
x
O
O´ L
E E 1 E 2 E 1 s i i E 1 c n j o E 2 s i s i E 2 c n j o
r 2 1s
ii n r 1co j s r 2s
dl
d dt
S
××L××
B t L
dS
dB c B dt
求：E 感生 分布
×××O ×r××
解：设场点距轴心为 r ,根据对称性 ×××××
，取以O为心，过场点的圆周环路L
r
r < R
E感生 dlE感2 生 r
S
dB dt
r 2 dB
dt
L
E感生
r 2
dB dt
r > R
E感生 dlE感2 生 r
水银中产生感生电动势
b
Bva
水 银 的 电R阻 ： a
a
l
bl
感应电I流 Bvbl
R
水银所受F磁 B场 IaB 力 2va： b 与 lv反向
管两端附加压 P强 aFb差 B2vl
管两端的实际压强差P0： P
据题vv设 0P0P 0P1B P 20 lv
v
v0
1 v0B 2l
P0
二、感生电动势
时与磁力矩平衡
r2 2r1 32 2 B2co 2sd d tF1s rin
t 2
0.1
r22r1 2 2F2sB i2n co2sd
S
2.1（ 1s)
B
n
N
例：在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由 转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L，回 路总电阻为R，在OMN区域内为均匀磁场B，方向如图， 已知OA边进入磁场时的角速度为，则此时导体回路 内的电流 i =___,因此导体回路所受的电磁阻力矩M=__.
截
面，
用
表示
两
圆柱
间
存在
的 均匀
磁
场的
方
向，
设磁感应强度B随时间t线性增长，即B kt(k为常数）
现在空腔中放一与OO成600 角，长为L的金属棍AOB,
求 ： 沿 棍 的 感 生 电 动解势：AB整个磁场可视为圆柱O内的
oEr.11d.ro2B´E2 A
均匀磁场B和空腔内 – B 的叠加
空腔内的E 感dl应电场由d这B 两d部S 分产生 dt
线框的A, B 两点始终与水平直导线接触，竖直直导线
则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电
阻值均为 r，试问：1）导线框的C, D两点移至竖直导
线上时，流过竖直导线CD段的感应电流是多少？2）
此时导线框所受的总安培力为多大？
v
C
B
C
I左 C I右 I
I左
I右 2ar
2 ar 2ar
A
A B
例：一半径为 a 的小圆线圈，电阻为R，开始时与一 个半径为b（b>>a）的大线圈共面且同心，固定大线 圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以 匀角速 转动如图（线圈的自感忽略）。 求：1）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线圈中的感应电动势
Ein
解：长直密绕螺线管内B=0ni
R
i 变B变产生涡旋电 E 场
r Eout r
dB
Edl
dS
L
S
1 ） Eindl
ddtB dS dt
L
S
2)Eout 2 r 0nC R2 Ein 2rd dB tr20n C r2
E out
0 nCR 2
2r
Ein
0nCr
2
例：一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的
E感生 dl
L
d dt
S
B t
dS
（2） 特殊
E感 生具有某
种对称性才有 可能计算出来
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向
平行柱轴，如长直螺线管内部的场。 磁场随时间变化 则感生电场
Bt
具有柱对称分布。
特殊情况下感生电场的计算
E感生
空圆间柱均内匀 ，B 的磁的场方限向制平在行半柱径轴为，且R有的L
L
R2
dB dt
R2 dB E感生 2r dt
r<R r>R
E感生
r 2
dB dt
E感生
R2 2r
dB dt
L ××L××
B ××××r××
×××××
dB dt 0,E感 0
dB dt 0,E感 0
例 ： 一 无 限 长 圆 柱 ， 偏轴 平 行 地 挖 出 一 圆 柱 空间 ，
两圆柱轴间距离OO d,图中所示为垂直于轴线的
i (v B) dl
a
l
b B(r)
v
例 . 求长为L的直导线在磁场中转动时的电动势。
解：
v
d
B
(vvBB)与 dldl
v 反向
l
v
A
d vBdl lBdl
dl B
d
L
Bldl
1BL2
O
l
0
2
o
负号表示电动势方向与积分方向相反，即
A O UO UA