1m s1
§2.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或
截面上 p 、v 及地势高度 h 之间的关系。
一、 伯努利方程的推导
如图，取一细流管，经过短暂时间 △t ，截
c d v2 S2 Δt
面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到
d ，流过两截面的体积分别为
第2章 流体力学基础
§2.1 流体力学简介 §2.2 理想流体的定常流动 §2.3 伯努利方程及其应用 §2.4 黏滞流体的定常流动 §2.5 泊肃叶定律 斯托克斯定律 §2.6 生物流体力学简介
§2.1 流体力学简介
流体: 具有流动性的物体（液体和气体）。 由连续分布的流体质量元组成的。
流体力学：主要研究流体本身的静止状态和运动状态。 流体力学中研究得最多的流体是水和空气。 流体力学的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律。
图 测量气体流速比多管
vA = 0 vB = v流体
取其轴线为参考面，由伯努利方程，得
v
PB,vB
PB
1 2
v2
PA
PA
从U形管中左右两边液面高度差可知
ρ
PB
h
ρ'
PA
图 测量气体流速比多管
PA PB gh
由上两式得 v 2gh
为 U 形管中液体密度；
为气体密度。
h
A B
图 测量液体流速比多管
流线密处，表示流速大，反之则稀。
三、流管
流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。
流管内流体的质量是守恒的。
通常所取的“流管”都是“细流管”。 细流管的截面积S 0 ，就称为流线。
四、连续性原理
描述了定常流动的流体在任一流管中不同截面处的流速 v 与
截面积 S 的关系。
和 S取2，一两细截流面管处，的任流取速两分个别截为面vS1 1 S1
S
2 A
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。
如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2,
管4的截面积为10cm2,假设水在管内作定常流动。
求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
（3）管1、4中的压强差.
2
v2
1
v1
4
v4
3
v3
'
P1
1 2
(v12
v22
)
gh2
=
2.3×105Pa
打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。
例 如图所示为一虹吸装置，h1 和h2 及流体密度 已知，
求 a、b、c、d 各处压强及流速。
c
解 由题意可知，va = 0, pa = pd = p0
选d 点所在平面为参考平面，对a 、
流体力学是物理学的重要组成部分，它不 但应用到工程技术各个领域，而且也渗透到 农业与生命科学之中。
流体质量元有别于力学中的质点
流体质量元
1. 宏观上看为无穷小的一点，有确 定的位置 r 、速度 v 、密度 和
压强 P等；
2. 微观上看为无穷大，流体分子的
无规则热运动不占主导地位；
流体力学 流体静力学（用P、F浮、 等物理量描述） 流体动力学（用P、v、h 、 等物理量描述）
图示形式的比多管测定液体的流速, 其关系式为
PB
1 2
v2
PA
1 v 2
2
PA
PB
gh
v 2gh
皮托(pitot)管测速原理之比较
h
1. 测气体、液体的流速分别选哪一种？
B
2. 测量气体、液体的流速有何异同？
A
vB v , vA 0
测液体 P PB PA gh
A
B
测气体 P 'gh
S2
A2 F2v2t P2S2v2t P2V Δt P1
h2
由功能原理 ： A Ek Ep 即
S1 h1
(P1
PP12)12Vv1212(vg22h1
v12
)V
P2
1 2
g (h2
v22
h1)V
gh2
或 P 1 v2 gh C
2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
A h
求 进水速度。 解 出水管的体积流量
QB SBvB
B
D = 0.8m
0.5min. 内的出水量 进水管的体积流量 5.5min. 内的进水量
因 VB VA 所以
VB QBtB SBvBtB
QA SAvA
VA QAtA tB SAvAtA tB
vA
SBvBtB SA tA tB
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理。
（3）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（4）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v
之间的关系。
注意: (1)统一为国际单位；(2)仅适用于理想流体的定常流动。
三、伯努利方程的应用
小孔流速 如图所示，SB<<SA，以 A、B 两点为参考点。
例 一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4∶1，
已知水管粗处水的流速为2m·s-1。
求 水管狭细处水的流速
解 由连续性原理知
S1
S2
v1
v2
S1v1 S2v2
得
v2
S1v1 S2
8m s1
例 如图是一种自动冲水器的结构示意
图，进水管A 管口截面积为3cm2 ，出水 管B 管口截面积为22cm2 ，出水时速度 为1.5m·s-1,该冲水器每隔5min能自动持 续出水0.5min.
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
P1
P2Βιβλιοθήκη g (h1h2 )
1 2
(v22
v12 )
P1 表P2示单位体积流体流过细流管 S1压S力2 所做的功；
g(h1表示h2单) 位体积流体流过细流管 重力S所1S做2 的功；
1 2
(v22
表v12示) 单位体积流体流过细流管
后S动1S能2 的变化量；
流体质量元在不同地点的速度？可以各不相同；
流体在空间各点的速度分布？ 不变； “定常流动”并不仅限于“理想流体”。
二、流线
流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方
向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。 v1
流场中流线是连续分布的；
v2
空间每一点只有一个确定的流速方向， 流速大 所以定常流动时，流线不可相交。
解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1 ∵ S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1 ∴ Q2 = Q3 = 450cm3•s-1
(2) v2 = v3 = Q2∕S2 = 450∕15 = 30cm•s-1 v4 = Q4∕S4 = 900∕10 = 90 cm•s-1
(3) v1 = Q1∕S1 = 900∕15 = 60cm•s-1 由伯努利方程
pc
gh2
1 2
(h2 vc2
h1
)
得：
pc p0 gh2
机翼的升力
由于机翼一般是不对称的，上表面比较凸，而下表面比较平， 流过机翼上表面的气流流速较快，而流过机翼下表面的气流流速 较慢。根据流体力学的基本原理，流动慢的大气压强较大，而流 动快的大气压强较小，这样机翼下表面的压强就比上表面的压强 高。
对于不可压缩流体， 为常量，故有
Sv Q 常量
上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其
中 Q 称为体积流量。
对同一流管而言，截面积 S 小处则速度大，截面 积 S 大处则速度小
Sv C 是对细流管而言的。物理上的“细”，
指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成 “细流管”。
h1 ab
h2
d 两点应用伯努力方程，有
d
g (h2
h1)
1 2
vd2
解得
vd 2gh2 h1
因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以
由连续性原理，有： vb
对于a、b 两点，有 pb
对于a、c 两点，有 p0
12vc vb2
g(h2
vd
h1 )
p0
2g h2 h1
pb p0 g
SA
由伯努利方程：
SB
PA
1 2
v
2 A
ghA
PB
1 2
vB2
ghB
由 SAvA SBvB
可知，
vA
SB SA
vB
0
选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得
PA
gh
PB
1 2
v
2 B
vB
2(PA PB ) 2gh
vB
2(PA PB ) 2gh
假设容器开口，开向大气。则
PA= P 0 P B =P 0 所以
h
文丘里流量计（测量管道中液体体积流量）
h
如左图所示。当理想流体在管道中作
定常流动时，由伯努利方程
SA SB
由连续性原理
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
v
2 B
Q S AvA SBvB 又 PA PB gh
Q SASB
2gh
S
2 B
S
2 A
管道中的流速
v vB
Q SB
SA
2gh
S
2 B
A 处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。