2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x <<C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x << 2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-A ．B ．C ．D ． 4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．12 D ．355．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ） 6．已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79-7．已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=C ．240x y --= D ．240x y -+= 8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．35 B ．35 C ．92 D ．989．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）A ．15B ．9C ．1D ．53- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83 B ．163 C ．323D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，mn的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+，若点P 在y 轴上， 则实数m = ．14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个． 15．设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2， 预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3， 第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4. 令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20．已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为23,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2/3 14．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =.因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=.因为22a =，所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=. （Ⅱ）因等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，则()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯.则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=，所以()112n n T n +=-()122n n ++-. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-.18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥. 因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因EB ⊥面ABCD ，FD ⊥面ABCD ，所以EB FD ∥.则B ，D ，F ，E 四点共面. 因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a ，31,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()0,,0AB a =，313,2AF a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,31302ay ay =⎧⎪⎨++=⎪⎩不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,32CE a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos ,n CE n CE n CE ⋅==36.所以直线CE 与平面ABF 36.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4， 因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=，()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=，()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=，()2 2.4P ξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()，离心率为5.因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（Ⅱ）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k∆=-+()2124m-=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.12MN x =-==因为3MN =3=. 整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=.等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+符合题意故m 的最大值为3.21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪. 因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-.所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++.已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =.所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解.令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x-=(22ln ln 4ln x x x x +-. 令()ln p x x =-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1p x x '=-10x =<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p<ln e 0=-<. 所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-.所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=.将直线20x y --=代入221124x y +=中得230x x -=得0x =或3x =.则点()0,2A -，()3,1B ，AB=（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大.设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=.令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P ()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l的距离为d ==.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++.所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”.当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立.当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥得52a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。