2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n ---L 其中n 为正整数,则'(0)f = ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n --(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==+++L L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d (1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有0,0,x y∂∂><∂∂（x,y ）（x,y ）则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的是( )(A) 1α，2α，3α (B) 1α，2α，4α (C) 2α，3α，4α (D) 1α，3α，4α(8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202/x d yd x== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L . (11)设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13)曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14)设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，（I ）求a 的值;（II ）若0x →当时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分 分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点(0)f '(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=L n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根； （II ）记（I ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭（I）计算行列式A；(II）当实数a为何值时，方程组Axβ=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001Aaa⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T Tf x x x x A A x=的秩为2，（I）求实数a的值；（II）求正交变换x Qy=将f化为标准形.2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
（1）已知当0→x 时，函数x x x f 3sin sin 3)(-=与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）4,1==c k （B ）4,1-==c k （C ）4,3==c k （D ）4,3-==c k（2）设函数)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-→3320)(2)(lim xx f x f x x （ ） （A ）)0(2f '- （B ）)0(f '- （C ）)0(f ' （D ）0 （3）函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （4）微分方程)0(2>+=-''-λλλλx xe ey y 的特解形式为（ ）（A ）)(x xe ea λλ-+ （B ）)(x x e e ax λλ-+（C ）)(x xbe aex λλ-+ （D ）)(2x x be ae x λλ-+（5）设函数)(x f ，)(x g 均有二阶连续导数，满足0)0(>f ，0)0(<g ，0)0()0(='='g f 则函数)()(y g x f z =在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ）0)0(<''f ，0)0(>''g （B ）0)0(<''f ，0)0(<''g （C ）0)0(>''f ，0)0(>''g （D ）0)0(>''f ，0)0(<''g（6）设⎰=40sin ln πxdx I ，⎰=4cot ln πxdx J ，⎰=40cos ln πxdx K ，则I ，J ，K 的大小关系为（ ）（A ）K J I << （B ）J K I << （C ）K I J << （D ）I J K <<（7）设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵。
记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A =（ ）（A ）21P P （B ）211P P - （C ）12P P （D ）112-PP（8）设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。
若T)0,1,0,1( 是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为（ ）（A ）31,αα （B ）21,αα （C ）321,,ααα （D ）432,,ααα二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
请将答案写在答题纸．．．指定位置上。
（9）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→xxx 10221lim 。
（10）微分方程x ey y xcos '-=+满足条件0)0(=y 的解为=y 。
（11）曲线⎰=xtdt y 0tan )40(π≤≤x 的弧长=s 。
（12）设函数⎩⎨⎧=-,0,)(kx e x f λ ,0,0≤>x x 0>λ，则⎰+∞∞-=dx x xf )( 。
（13）设平面区域D 由直线x y =，圆y y x 222=+及y 轴所围成，则二重积分⎰⎰=Dxyd σ 。
（14）二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。
请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应字说明、 证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）已知函数αx dtt x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围。
（16）（本题满分11分）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=3131,313133t t y t t x 确定，求)(x y y =的极值和曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点。
（17）（本题满分9分）设函数))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取得极值1)1(=g ，求1,12==∂∂∂y x yx z。