专题 机械波相关综合问题分析课题任务 机械振动与机械波的综合分析问题振动是单个质点所表现出的周而复始的运动现象，波动是大量质点表现出的周而复始的运动现象。

振动是质点由于某种原因离开平衡位置，同时受到指向平衡位置的力——回复力的作用。

波动是由于介质中质点受到相邻质点的扰动而随着运动，并将振动形式由近及远传播开去，各质点间存在相互作用的弹力，各个质点受到回复力的作用。

振动是波动的起因，波是振动的传播；波动的周期等于质点振动的周期。

要会识别和描绘振动图象和波动图象，并能相互转化，能判断质点的运动方向和波的传播方向。

例1 (多选)图a 为一列简谐横波在t ＝0.10 s 时刻的波形图，P 是平衡位置在x ＝1.0 m 处的质点，Q 是平衡位置在x ＝4.0 m 处的质点；图b 为质点Q 的振动图象，下列说法正确的是( )A ．在t ＝0.10 s 时，质点Q 向y 轴正方向运动B ．在t ＝0.25 s 时，质点P 的加速度方向与y 轴正方向相同C ．从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s ，该波沿x 轴负方向传播了6 mD ．从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s ，质点P 通过的路程为30 cmE ．质点Q 简谐运动的表达式为y ＝0.10sin10πt (m)[规范解答] 由质点Q 的振动图线可知，t ＝0.10 s 时质点Q 向y 轴负方向运动，A 错误；由波的图象可知，Q 附近靠近波源的点(前面的点)在右边，波沿x 轴负方向传播，从振动图象可看出波的周期为T ＝0.2 s ，t ＝0.10 s 时质点P 向上振动，经过34T ，即在t ＝0.25 s 时，质点P 振动到x 轴下方位置，且速度方向沿y 轴正方向，加速度方向也沿y 轴正方向，B 正确；波速v ＝λT ＝80.2m/s ＝40 m/s ，故从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s ，该波沿x 轴负方向传播的距离为：x ＝v ·Δt ＝40×0.15 m＝6 m ，C 正确；由于t ＝0.10 s 时质点P 不是在波峰或波谷或平衡位置，故从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s 的34个周期内，通过的路程不等于3A ＝30 cm ，D 错误；质点Q 做简谐振动的表达式为：y ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πT t ＝0.10sin10πt (m)，E 正确。

[完美答案] BCE在机械波和机械振动的问题中常会出现波的图象不是零时刻的或振动图象不是从波的图象所对应时刻开始计时的情形，这就需要我们根据机械振动和机械波传播的规律将波的图象还原成零时刻的情形，或由零时刻的情形推知某时刻的情况。

解决这类问题必须抓住一个特点：机械振动的图象和机械波的图象对应的同一质点在同一时刻的振动情况相同。

[变式训练1] 一列横波沿x 轴正向传播，a 、b 、c 、d 为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。

某时刻的波形如图1所示，此后，若经过34周期开始计时，某质点的振动图象如图2所示，则该质点可能为( )A ．a 处质点B ．b 处质点C ．c 处质点D ．d 处质点答案 B解析 解法一：根据波的图象，分别判断a 、b 、c 、d 处各质点经过34周期时的振动位置和振动情况，然后与给出的振动图象比较。

由振动图象知t ＝0时刻，该质点在平衡位置向下振动，而由图1知，a 处质点经34周期处在波谷，与图2不符；c 处质点经34周期处在波峰，与图2不符；d 处质点经34周期处于平衡位置，但接着向上振动，与图2不符；b 处质点经34周期处于平衡位置且向下振动，与图2相符。

故B 正确，A 、C 、D 错误。

解法二：逆推法。

将图2中的振动图象向前推34周期，得到的图象如下图所示，即t ＝－34T 时此质点处于波谷，由此可知该质点可能为b 处质点，B 正确。

解法三：顺推法。

画出经过34周期时的波形图，如下图所示，根据各处质点的振动情况与图2对比，可知B 正确。

课题任务 机械波的图象的综合分析机械波的图象反映了某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。

一段时间内，机械波向前传播的距离x 和传播的时间t 满足的关系是：x ＝vt ；机械波向前传播的距离x 与波长λ、周期T 、传播的时间t 满足的关系是：x λ＝t T 。

故要从某时刻的波形推求Δt 后(或前)的波形，只需将原图顺着波的传播方向(或反方向)平移Δt T个波长即可。

或者换一种说法，随着时间的推移波也跟着推移，这样波的形状就可以视为不变，向前推移的距离x ＝vt 。

例2 一根弹性绳沿x 轴方向放置，左端在原点O ，用手握住绳的左端使其沿y 轴方向做周期为1 s 的简谐运动，在绳上形成一列简谐波如图所示。

求：(1)若从波传到平衡位置在x ＝1 m 处的M 质点时开始计时，那么经过的时间Δt 等于多少时，平衡位置在x ＝4.5 m 处的N 质点恰好第一次沿y 轴正方向通过平衡位置？在图中准确画出当时弹性绳上的波形。

(2)从绳的左端点开始做简谐运动起，当它通过的总路程为88 cm 时，N 质点振动通过的总路程是多少？[规范解答] 解法一：(1)由波的传播特性和波动图象知，波长λ＝2 m ，波从x ＝1 m处传至x ＝4.5 m 处需要的时间t ＝4.5－12T ＝74T ，此时平衡位置在x ＝4.5 m 处的N 质点正通过平衡位置向y 轴负方向运动，N 质点恰好第一次沿y 轴正向通过平衡位置还需t ′＝T2，因此Δt ＝t ＋t ′＝94T ＝2.25 s ，此时波形如图所示。

(2)由图知，振幅A ＝8 cm ，质点在一个周期内通过的路程为4A ＝32 cm ，O 质点通过88 cm的路程共经过的时间为t 0＝8832T ＝114T ，波从x ＝0 m 传至x ＝4.5 m 处需要的时间t 1＝4.5－02T ＝94T ，质点N 运动的时间为t 2＝t 0－t 1＝12T ，所以质点N 振动通过的总路程为2A ＝16 cm 。

解法二：(1)由波动图象看出波长λ＝2 m ，由题目知道周期T ＝1 s ，故波速为v ＝λT ＝2 m/s 。

开始计时时，O 质点恰好沿y 轴正方向通过平衡位置，当这个振动形式传到N 质点时，N 质点恰好第一次沿y 轴正方向通过平衡位置。

即波传播的路程为ON 之间的长度：s ＝4.5 m ，故波传播需要的时间Δt ＝s v ＝4.52s ＝2.25 s 。

此时波形如解法一中答图所示。

(2)经过一个周期做简谐运动的质点通过的路程为4倍的振幅长度，则左端点通过88 cm 的路程时所需时间为t 0＝884×8×T ＝2.75 s ，而波传到N 质点需要的时间是Δt ＝2.25 s ，故N 质点振动的时间为t 2＝t 0－Δt ＝0.5 s,0.5 s 是半个周期，N 质点运动的路程等于两倍振幅，N 质点振动通过的总路程为2A ＝16 cm 。

[完美答案] (1)2.25 s 图见规范解答 (2)16 cm深刻理解机械波和机械振动的关系是解决此类问题的关键，涉及到的知识点有：(1)波的周期(频率)等于各质点振动的周期(频率)；(2)波传播一个周期，波形沿传播方向平移一个波长；(3)波的传播速度v ＝λT ＝λf 。

[变式训练2] 简谐横波在t ＝0时刻的波形图如图所示，波沿x 轴正方向传播，已知在t ＝0.6 s 末时，A 点第三次出现波峰。

试求：(1)该简谐波的周期；(2)该简谐波传播到B 点所需的时间；(3)B 点第一次出现波峰时，A 点经过的路程。

答案 (1)0.24 s (2)0.36 s (3)0.9 m解析 (1)由题意知，A 点经过2.5个周期后第三次出现波峰，2.5T ＝0.6 s ，T ＝0.24 s 。

(2)由图知λ＝1.2 m ，波速v ＝λT ＝5 m/s ，波传播到B 点所需的时间t ＝x v ＝1.85s ＝0.36 s 。

(3)解法一：B 点第一次出现波峰所需时间就是x ＝0.3 m 处的振动情形传播到B 点的时间，t ′＝Δx v ＝2.75s ＝0.54 s ＝2.25T ，A 点经过的路程s ＝4A ×2.25＝4×0.1×2.25 m＝0.9 m 。

解法二：波传播到B 点时B 点起振方向向下，B 点从开始振动到第一次到达波峰需要时间t ″＝0.75T ＝0.18 s ，则B 点第一次到达波峰所需的时间t ′＝t ＋t ″＝0.36 s ＋0.18 s ＝0.54 s ＝2.25T ，A 点经过的路程s ＝4A ×2.25＝4×0.1×2.25 m＝0.9 m 。

1.如图所示为一列简谐横波在某一时刻的波形图，已知质点A 在此时刻的振动方向如图中箭头所示，则以下说法中不正确的是( )A ．波向左传播B ．波向右传播C ．质点B 向上振动D ．质点C 向上振动答案 B解析 解决该题有许多方法，现用“上下坡”法判断，若波向右传播，则A 质点处于下坡，应向上振动，与题意不符，由此可知波向左传播，A 正确，B 错误；同理可判断质点C 向上振动，质点B 向上振动，C 、D 正确。

2．(多选)一列沿着x 轴正方向传播的横波，在t ＝0时刻的波形如图甲所示，图甲中质点L 的振动图象如图乙所示，则下列说法正确的是( )A ．质点L 的振动周期为4 sB ．横波是沿x 轴负方向传播C ．该波的波速为0.5 m/sD ．t ＝2 s 时，质点N 在平衡位置沿y 轴负方向振动答案 AC解析 由题图乙可得，质点L 振动周期为4 s ，A 正确；题图乙表示题图甲中质点L 的振动图象，t ＝0时刻的初位移为0，向上振动，所以波向x 轴正方向传播，B 错误；波速v ＝λT＝0.5 m/s ，C 正确；t ＝2 s 时，质点N 又回到平衡位置沿y 轴正方向振动，D 错误。

3.如图为一列沿x 轴负方向传播的简谐横波在t ＝0时的波形图，当Q 点在t ＝0时的振动状态传播到P 点时，则( )A．1 cm<x<3 cm范围内的质点正在向y轴的负方向运动B．Q处的质点此时的加速度沿y轴的正方向C．Q处的质点此时正在波峰位置D．Q处的质点此时运动到P处答案 B解析如图所示，画出当Q点的振动状态传到P点时的波形图，由波的传播方向知，1 cm<x<2 cm范围内的质点正在沿y轴正方向运动，A错误；Q处的质点此时在波谷位置，具有沿y轴正向的加速度，故B正确，C错误；Q处的质点在其平衡位置上下振动，并不随波迁移，D错误。

4．一简谐横波沿x轴正向传播，如图甲所示是t＝0时刻的波形图，图乙是介质中某质点的振动图象，则该质点的x坐标值合理的是( )A．0.5 m B．1.5 mC．2.5 m D．3.5 m答案 C解析 由题图乙可知，在t ＝0时刻质点的纵坐标为－0.1 m≥y ≥－0.2 m ，并且向y 轴负方向运动，又因波沿x 轴正方向传播，综上可知，该质点的x 坐标值在2 m ＜x ＜3 m 之间，C 正确。