圆锥曲线一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||21F F )的点的轨迹。
其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:||221F F a >表示椭圆;||221F F a =表示线段21F F ;||221F F a <没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:3.常用结论:(1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,则2ABF ∆的周长=(2)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ,过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点,则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线:(1)双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||21F F )的点的轨迹。
其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点,焦点在x 轴上中心在原点,焦点在y 轴上标准 方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图 形顶 点 )0,(),0,(21a A a A -),0(),,0(21a B a B -对称轴 x 轴,y 轴;虚轴为b 2,实轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F -),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c+=离心率 )1(>=e ace (离心率越大,开口越大) 渐近线 x ab y ±= x ba y ±= 通 径22b a(3)双曲线的渐近线: ①求双曲线12222=-by a x的渐近线,可令其右边的1为0,即得02222=-by a x ,因式分解得到0x y a b ±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ;(4)等轴双曲线为222t y x =-2(4)常用结论:(1)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点,则2ABF ∆的周长=(2)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ,过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点,则Q P ,的坐标分别是 =||PQ三、抛物线:(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。
(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:0>p焦点在x 轴上, 开口向右焦点在x 轴上, 开口向左焦点在y 轴上, 开口向上焦点在y 轴上, 开口向下标准 方程px y 22=px y 22-=py x 22=py x 22-=图 形顶 点 )0,0(O对称轴 x 轴y 轴焦 点 )0,2(pF )0,2(p F -)2,0(p F)2,0(p F -离心率 1=e 准 线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =通 径 p 2焦半径 2||||0p x PF += 2||||0p y PF += 焦点弦焦准距p四、弦长公式: ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ,),(22y x B ,由韦达定理求出AB x x -=+21,ACx x =21;(3)代入弦长公式计算。
法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y 的一元二次方程,02=++C By Ay 则相应的弦长公式是:||)1(14)()1(1||)1(1||2212212212A k y y y y k y y k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+=注意(1)上面用到了关系式||4)(||2122121A x x x x x x ∆=-+=-和 ||4)(2122121A y y y y y y ∆=-+=- 注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ,),(22y x B ,由韦达定理求出ABx x -=+21;(3)设中点),(00y x M ,由中点坐标公式得2210x x x +=;再把0x x =代入直线方程求出0y y =。
法(二):用点差法,设),(11y x A ,),(22y x B ,中点),(00y x M ,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A 、B 两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出00,y x 。
六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c ,再代入公式法二、建立a,b,c 满足的关系,消去b,再化为关于e 的方程,最后解方程求e (求e 时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1,而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)例1:设点P 是圆224x y +=上的任一点,定点D 的坐标为(8,0),若点M 满足2PM MD =.当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程.解 设点M 的坐标为(),x y ,点P 的坐标为()00,x y ,由2PM MD =, 得()()00,28,x x y y x y --=--,即0316x x =-,03y y =.因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上,所以22004x y +=.即()()2231634x y -+=,即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,这就是动点M 的轨迹方程.例2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点53(,)22-,求椭圆的标准方程解法1 因为椭圆的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,由椭圆的定义可知:222253532(20(202102222a =++--+-+--=)())() 10a ∴=又2222,6c b a c =∴=-=所以所求的标准方程为 221106x y +=解法222222,4c b a c a =∴=-=-,所以可设所求的方程为222214x y a a +=-,将点53(,)22-代人解得:10a = 所以所求的标准方程为221106x y += 例3.例4.高二圆锥曲线练习题11、F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、已知ABC ∆的周长是16,)0,3(-A ,B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A .13B .33C .12D .324、设椭圆1C 的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为( )A .2222143x y -=B .22221135x y -= C .2222134x y -= D .222211312x y -=5、设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为( ). (A )4 (B )3 (C )2 (D )16、双曲线8222=-y x 的实轴长是( )(A )2 (B ) 22 (C ) 4 (D )427、双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( ) A .3.2 C 3.18、以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( ) A .221090x y x +-+=B .2210160x y x +-+=C .2210160x y x +++=D .221090x y x +++=9、、过椭圆2222x y a b+=1(a >b >0)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若∠1F 2PF 60=°,则椭圆的离心率为( ) A .22 B .33C .12D .1310. “0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆的 ( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2,1); .(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; (4)离心率为23,经过点(2,0); 12、与椭圆且短有相同的焦点,y x 14922=+轴长为2的椭圆方程是: 13、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为22.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为16,那么C 的方程为:14、已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ,两点,若2212F A F B +=,则AB = .15、 已知1F 、2F 是椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若12PF F △的面积是9,则b = .16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P ( 4,3- ),Q ( 3,22 )两点的椭圆方程。