3．5 典型例题例题3－１ 某电厂有三台锅炉合用一个烟囱，每台锅炉每秒产生烟气733m （已折算成标准状态下的体积），烟囱出口出的烟气温度为100C ︒，压力近似为101.33kPa ，烟气流速为30m/s 。

求烟囱的出口直径。

解 三台锅炉产生的标准状态下的烟气总体积流量为烟气可作为理想气体处理，根据不同状态下，烟囱内的烟气质量应相等，得出因p =0p ，所以 烟囱出口截面积 32V299.2m /s 9.97mq A=== 烟囱出口直径 3.56m 讨论在实际工作中，常遇到“标准体积”与“实际体积”之间的换算，本例就涉及到此问题。

又例如：在标准状态下，某蒸汽锅炉燃煤需要的空气量3V 66000m /h q =。

若鼓风机送入的热空气温度为1250C t =︒，表压力为g120.0kPa p =。

当时当地的大气压里为b 101.325kPa p =，求实际的送风量为多少？解 按理想气体状态方程，同理同法可得而 1g1b 20.0kPa 101.325kPa 121.325kPa p p p =+=+=故 33V1101.325kPa (273.15250)K 66000m 105569m /h 121.325kPa 273.15kPaq ⨯+=⨯=⨯ 例题３－２ 对如图３－９所示的一刚性容器抽真空。

容器的体积为30.3m ，原先容器中的空气为0.1MPa ，真空泵的容积抽气速率恒定为30.014m /min ，在抽气工程中容器内温度保持不变。

试求：（１） 欲使容器内压力下降到0.035MPa 时，所需要的抽气时间。

（２） 抽气过程中容器与环境的传热量。

解 （１）由质量守恒得即所以 V d d q m m Vτ-= （３） 一般开口系能量方程由质量守恒得 out d d m m =-又因为排出气体的比焓就是此刻系统内工质的比焓，即out h h =。

利用理想气体热力性质得,d d()d()d p V V h c T U mu c Tm c T m ====（因过程中温度不变） 于是，能量方程为即 d Q V p δ=-两边积分得 12()Q V p p =-则系统与环境的换热量为讨论由式12()Q V p p =-可得出如下结论：刚性容器等温放气过程的吸热量取决于放气前后的压力差，而不是取决于压力比。

传热率即Q δδτ与放气质量流率，或者与容器中的压力变化率正正比。

例题3－３ 在燃气轮机装置中，用从燃气轮机中排出的乏气对空气进行加热（加热在空气回热器中进行），然后将加热后的空气送如燃烧室进行燃烧。

若空气在回热器中，从127C ︒定压加热到327C ︒。

试按下列比热容值计算对空气所加入的热量。

（１） 按真实比热容计算；（２） 按平均比热容表计算；（３） 按比热容随温度变化的直线关系式计算；（４） 按定值比热容计算；（５） 按空气的热力性质表计算。

解 （１）按真实比热容计算 空气在回热器中定压加热，则2211,d d T T p m p p T T C q c T T M==⎰⎰又 2,012p m C a aT a T =++据空气的摩尔定压热容公式，得故 2211,20121d ()d T T p m p T T C q T a a T a T T M M ==++⎰⎰（２） 平均比热容表计算查平均比热容表用线形内插法，得故（３） 按比热容随温度变化的直线关系式计算查得空气的平均比热容的直线关系式为故 2121|() 1.3078(32712)207.76kJ/kg tp p t q c t t =-=⨯-= （４） 按定值比热容计算（５） 按空气的热力性质表计算查空气热力性质表得到：当127317400K T =+= 时，1400.98kJ/kg h =；2273327600K T =+=时，2607.02kJ/kg h =。

故讨论气体比热容的处理方法不外乎是上述集中形式，其中真空比热容、平均比热容表及气体热力性质表是表述比热容随温度变化的曲线关系。

由于平均比热容表和气体热力性质表都是根据比热容的精确数值编制的，因此可以求得最可靠的结果。

与他们相比，按真实比热容算得的结果，其相对误差在1%左右。

直线公式是近似的公式，略有误差，在一定的温度变化范围内（0C ~1500C ︒︒）误差不大，有足够的准确度。

定值比热容是近似计算，误差较大，但由于起计算简便，在计算精度要求不高，或气体温度不太高且变化范围不大时，一般按定值比热容计算。

在后面的例题及自我测验题中，若无特别说明，比热容均按定值比热容处理。

例题３－４ 某理想气体体积按a a 为常数，p 代表压力。

问： （１） 气体膨胀时温度升高还是降低？（２） 此过程气体的比热容是多少？解 （１）因V a =g pV mR T =所以 g mR T =当体积膨胀，则压力降低，由上式看到温度也随之下降。

（２）由V a = 22pV a ==常数多变指数 n=2于是 V V (2)1n n k c c k c n -==-- 又由状态方程得故 (2)n V c k c =-= 例题３－５ 一直某理想气体的比定容热容V c a bT =+，其中，a,b 为常数，试导出其热力学能、焓和熵的计算式解：例题３－６ 一容积为30.15m 的储气罐，内装氧气，其初态压力10.55MPa p =、温度138C t =︒时。

若对氧气加热，其温度、压力都升高。

储气罐上装有压力控制阀，当压力超过0.7MPa 时，阀门便自动打开，放走部分氧气，即储气罐中维持的最大压力为0.7MPa 。

问当罐中温度为285C ︒时，对罐内氧气共加入了多少热量？设氧气的比热容为定值。

解 分析：这一题目隐含包括了两个过程，一是由110.55MPa,38C p t ==︒被定容加热到20.7MPa p =；二是由20.7MPa p =，被定容加热到330.7MPa,285C p t ==︒，如图３－10所示。

由于，当20.7MPa p p <=时，阀门不会打开，因而储气罐中的气体质量不变，有储气罐总容积V 不变，则比体积V v m=为定值。

而当20.7MPa p p ≥=后，阀门开启，氧气会随着热量的加入不断跑出，以便维持罐中最大压力20.7MPa p =不变，因而此过程又是一个质量不断变化的定压过程。

该题求解如下：（１） １－２为定容过程根据定容过程状态参数之间的变化规律，有该过程吸热量为（２） ２－３过程中质量随时在边，因此应先列出其微元变化的吸热量于是 3232227d 7ln 22T p T T T Q p V p V T T ==⎰ 故，对罐内气体共加入多少热量讨论（１） 对于一个实际过程，关键要分析清楚所进行的过程是什么过程，即确定过程 指数一旦了解过程的性质，就可根据给定的条件，依据状态参数之间的关系，求得未知的状态参数，并进一步求得过程中能量的传递与转换量。

（２） 当题目中给出同一状态下的３个状态参数p ，V ，T ，时实际上隐含给出了此状态下工质的质量，所以求能量转换量时，应求总质量对应的能量转换量，而不应求单位质量的能量转换量。

（３） 该题目的２－３过程是一边质量、变稳过程，对于这样的过程，可先按质量 不变列出微元表达式，然后积分求得。

例题３－７ 空气在膨胀透平中由110.6MPa,900K p T ==绝热膨胀到20.1MPa p =，工质的质量流量为5kg/s m q =。

设比热容为定值，k =1.4。

试求：（１） 膨胀终了时，空气的温度及膨胀透平的功率；（２） 过程中热力学能和焓的变化量；（３） 将单位质量的透平输出功表示在p-v 图和T-s 图上；（４） 若透平的效率为T 0.90η=，则终态温度和膨胀透平的功率又为多少？解 （１）空气在透平中经过的是可逆绝热过程，即定熵过程。

所求的功是轴功，在动、位能差忽略不计时，即为技术功。

或用式 t 21()p w h c T T =-∆=-计算透平输出的功率（２） .215()5kg/s 287J/(kg K)(539.1K-900K)2m V U q c T T ∆=-=⨯⨯⋅⨯（４）比技术功t w 表示在图上，是图３－11a 所示的面积。

在T s -图上的表示，可这样考虑，因T s -图上表示热量比较容易，如果能够将t w 等效成某过程的热量，则表示就没有困难了。

因理想气体的焓仅是温度的函数，则'11h h =。

于是即技术功的数值恰好与定压过程的热量相等。

所以在T s -图上，''121a b ----所围的面积即是技术功。

（５） 因0.90T η=，说明此过程是不可逆的绝热过程，透平实际输出的功率为由热力学第一定律得 .'0H P ∆+=,即讨论：（１） 功在p-v 图上的表示很容易理解，但在T-s 图上的表示较难理解。

本题的技术功还可用图３－11b 所示的面积1-2’-c-2-1表示，为什么？请读者自己思考。

（２）理想气体无论什么过程，热力学能和焓的变化计算式恒为V U mc T ∆=∆，p H mc T ∆=∆不会随过程变。

（３） 第４的终态温度，能否根据(1)/2211()k k T p T p -=求得？答案是不能。

因为等熵过程参数间的关系式适用条件是理想气体、可逆绝热过程，且比热容为定值。

而本题的第４问不是可逆过程，因此终态温度的求解不能用上述公式，只能根据能量方程式推得。

（４） 实际过程总是不可逆的，对不可逆过程的处理，为可逆过程求解，然后借助经验系数进行修正。

膨胀透平效率的定义为T η=（５） 空气的气体常数-38.314J/(mol K)g =287J/(kg K)28.910kg/molR R M ⋅==⋅⨯，因空气是常用工质，建议记住其Rg 。

例题３－８ 如图３－12所示，两端封闭而且具有绝热壁的气缸，被可移动的、无摩 擦的、绝热的活塞分为体积相同的Ａ，Ｂ两部分，其中各装有同种理想气体1kg 。

开始时活塞两边的压力、温度都相同，分别为0.2Mpa ，20C ︒现通过Ａ腔气体内的一个加热线圈，对Ａ腔气体缓慢加热，则活塞向右缓慢移动，直至A2B20.4MPa p p ==时，试求：（１） Ａ，Ｂ腔内气体的终态容积各为多少？（２） Ａ，Ｂ腔内气体的终态温度各为多少？（３） 过程中供给Ａ腔气体的热量是多少？（４） Ａ，Ｂ腔内气体的熵变各为多少？（５） 整个气体组成的系统熵变为多少？（６） 在p-V 图、T-s 图上，表示出Ａ，Ｂ腔气体经过的过程。

设气体的比热容为定值1.01kJ/(kg K)p c =⋅，0.72kJ/(kg K)V c =⋅。

解 （１）因为Ｂ腔气体进行的是缓慢的无摩擦的绝热过程，所以它经历的是可逆绝热，即等熵过程。