E ′U sin δ ′ ′ X dΣ
& jX dΣ I d & jX qΣ I d
Pe ( E ′) = PU ( E ′) =
q
& Eq
& EQ
需要指出，式中δ’不是发电机的 功角，但它的变化仍能近似反映 发电机转子的相对运行，在电力 系统稳定性分析中也经常使用。 尽管E’恒定时，Pe与δ’存在正弦 关系，但与功角δ却存在较为复杂 的关系，经推导可得：
机械角加速度， 静加速转矩
J : ( kg ⋅ m 2 )
转动惯量,
A : ( rad / s 2 )
dΩ d 2 Θ Α= = 2 dt dt
如发电机的极对数为p，则实际发电机 转子的机械几何角Θ、角速度 、角加 速度A与电气角θ、电气角速度ω加速度 a。之间有如下关系
θ = pΘ ω = pΩ α = pA
′ EqU
& jX qΣ I d
& jX dΣ I d
&& Pe = PU = Re(UI * ) = U d I d + U q I q
&′ Eq
& E′
& U Gq
& Uq & Iq
& jX qΣ I q
& UG
& U
& I
δ
δ′
ϕ
& Ud
& Id
当发电机为隐极机时xd=xq
′ ′ Pe ( Eq ) = PU ( Eq ) =
X TL = X T1 + X L1 // X L2 + X T2
U d = U sin δ
& Eq
& EQ
U q = U cos δ
′ X TL < X dΣ < X qΣ < X dΣ
& jX TL I d
磁阻功率项系数为负，由此决定 极限功率δ角将大于90度
′ & jX dΣ I d
′ 1 2 X dΣ − X qΣ sin δ + U sin 2δ ′ ′ X dΣ 2 X dΣ X qΣ U GqU X TL − X qΣ 1 Pe (U Gq ) = PU (U Gq ) = sin δ + U 2 sin 2δ X TL 2 X TL X qΣ ′ ′ Pe ( Eq ) = PU ( Eq ) =
EqU
电机向外输出(系统接收)的有功功率最大(极限)值
QU = U q I d − U d I q = U q
Eq − U q X dΣ
EqU Ud U2 −Ud = cos δ − X dΣ X dΣ X dΣ
3)QU 随发电机功角δ的增大而减小，并在 δ=180度时达到最小值。其原因在于，随着 δ数值的增大，支路电流不断增加，各电气 设备消耗的无功功率不断增加。 在电力系统稳定分析中，主要关心发电 机的有功输出Pe，因此在后面章节中， 将主要讨论Pe与δ的关系。
J d 2δ ∆M = p dt 2
转子运动方程 M = S B = p ⋅ S B B 的标幺值表示 ΩN ωN SB功率基准
2 J ω N 1 d 2δ TJ d 2δ = = ∆M * ; ( ∆M * = ∆M M B ) 2 2 2 ω N dt p S B ωN dt
TJ：发电机转子惯性时间常数，单位为s
X ′ − X qΣ ′ EqU 1 sin δ + U 2 sin 2δ dΣ X dΣ ⋅ X qΣ ′ X dΣ 2 ′

′ ′ Pe ( Eq ) = PU ( Eq ) =
′ EqU X ′ − X dΣ 1 sin δ + U 2 dΣ sin 2δ ′ ′ X dΣ 2 X dΣ X dΣ ′ X TL < X dΣ < X qΣ < X dΣ 隐极机磁阻功率项系数为负，由此决定极限功率对 应的δ角将大于90度(如图所示)。
& EQ
+
−
q
& Ut
−
& Eq
& ( X d − X q ) Id
& EQ
Ax = Ad sin δ + Aq cos δ Ay = − Ad cos δ + Aq sin δ
式(4-93)
Ad = Ax sin δ − Ay cos δ Aq = Ax cos δ + Ay sin δ
X dΣ ≠ (>) X qΣ
2. 发电机为凸极机 发电机为凸极机(xd>xq)的情况 的情况
& & Pe = PU = Re(U ⋅ I * ) = U d ⋅ I d + U q ⋅ I q
U q = Eq − I d X dΣ
U d = I q X qΣ
U d = U sin δ
U q = U cos δ
EqU X dΣ
sin δ
1) 由于忽略了所有电气设备的电阻，图7-5系统变为一个无损网络
X dΣ δ = 90o 2) Qe随发电机功角δ的增大而增大，并在δ=180度时达到最大值；
Qe = Eq Eq − U q X dΣ = Eq2 X dΣ − EqU X dΣ cos δ
Pemax = PUmax =
X a ∑ = X ea + X da X b ∑ = X eb + X db
相量U与发电机转子q轴之间的夹角δ可用来 指示发电机转子的相对位置，称功角
功角及单机无穷大系统功率特性 1. 发电机为隐极机
Xd = Xq = XG
& & Se = Pe + jQe = EG I * = jEq ( I d − jI q ) = Eq I q + jEq I d
静止参考系和同步参考系
7.2 发电机的转子运动方程
在同步参考系下
δ i = θi − θ N
∆ωi = ωi − ω N
电角度:rad; 电角速度:rad/s
δ ij = δ i − δ j
相对角 相对角速度
∆ω ij = ω i − ω j
电角速度:
d δ i dθ i dθ N = − = ωi − ω N = ∆ωi dt dt dt
EqU Ud Pe = Eq = sin δ X dΣ X dΣ
Qe = Eq Eq − U q X dΣ = Eq2 X dΣ − EqU X dΣ cos δ
U d = U sin δ
U q = cos δ
PU = U d I d + U q I q = U d
QU = U q I d − U d I q = U q
7.2 发电机的转子运动方程
惯性时间常数及物理含义 取发电机额定容量SN为功率基准SB(T.m2)，此时发电机的惯性时间常数用 TJN表示，称为额定惯性时间常数
M m* = 1.0, M e* = 0
ωN
0
TJN dω ⋅ = ∆M * ω N dt
dt =
TJN dω ω N ∆M *
t=∫
TJN dω = TJN ω N ∆M *
4.6同步电机的稳态数学模型及相量图 4.6同步电机的稳态数学模型及相量图
4.6.1用同步电抗表示的同步电机稳态模型
& & & & Eq − j ( X d − X q ) I d ≡ EQ = U t + jX q I t
Ra + jX q
& It
+
图中各个相量之间的相对关系并不因为参考相量的不同而改 变。 习惯上，常用q轴的位置，即其与x轴间的夹角（图中的δ角） 来表示转子的空间位置。 各相量的实部和虚部变量对应上述两个坐标系间的转换关系 可用式(4-93)和(4-94)表示。
第7章 电力系统稳定性分析中的 元件模型
本章简单介绍电力系统稳定性分析中常 用元件的机电暂态模型，内容包括发电 机转子运动方程、发电机功率特性、励 磁和调速系统模型、负荷模型等。
7.2 发电机的转子运动方程
∆M = M m − M e = J ⋅ A
∆M = M m − M e : ( kg ⋅ m)
dδ dt = s ⋅ ωN ds ∆M * = dt TJ
ω* :=
ω ≈1 ωN
dδ dt = ∆ω = ω − ωN d ∆ω ωN = ⋅ ( Pm* − Pe* ) dt TJ ⋅ ω*
dδ dt = ∆ω = ω − ωN d ∆ω 1 = ( Pm* − Pe* ) TJ dt
TJ ,i* = TJN ,i
S N ,i SB
TJ ∑ *
m TJN ,1 ⋅ S N ,1 + TJN , 2 ⋅ S N , 2 + ... + TJN ,m ⋅ S N ,m = = ∑ TJ ,i* SB i =1
7.3 发电机功角及功率特性
两台隐极机(xd=xq)G-A和G-B分别与无穷大母线相连， 忽略发电机及等值支路中的电阻及线路对地导纳的影 响。 选无穷大母线电压相量U为参考轴，发电机G-A和G-B 稳态运行的相量图如下图所示。 Eqa和Eqb分别位于G-A和G-B两台发电机转子的q轴 上，当无穷大母线电压相量确定后，通过δa和δb角就 可确定两台发电机转子的相对位置。 在稳态运行情况下，G-A和G-B保持同步，此时， δa 和δb角固定不变，G-A和G-B两发电机之间的转子相 对位置也固定不变，系统保持同步稳定运行。
&& S U = PU + jQU = UI * = U (sin δ + j cos δ )( I d − jI q ) = U d I d + U q I q + j (U q I d − U d I q )