(4分)
原式 y dx x dy
AB BE EA
0
1
(1 x x)dx (x 1 x)dx 0 1
1
0
四、证明题（10 分）
(10分)
证明：由
fx fy
2 Ax 2Bx
2By 2Cy
2D 2E
0 0
，得驻点
P(x0 ,
y0 )
其中 x0
BE CD AC B2 , y0
4、 zmin z(0,0) 0 5、 5y 4z 14 0 6、 arctan1
4 7、 x 2 y 2 1 8、 dy f(x,y)dx. 9、 π 10、{－2y,3z2－3x2－3z,－x}. 二、选择题（共 5 小题，20 分）
CCABC 三、计算题（共 3 小题，30 分）
ez zy z yzy 0
z y
x0 y0
1 e
ez (zy ) 2 ez zyy 2zy yzyy 0
2z y 2
x0 y0
1 e2
3、解： AB :y 1 x , x 从1变至0；
(4分) (10分)
BE : y x 1, x 从0变至-1
EA : y 0 , x 从-1变至1
5、设C1、C2是围住原点的两条同向的封闭曲线。若已知
(
常数)，则
()
(A)一定等于K；
(B)一定等于－K；
(C)不一定等于K，与C2形状有关； (D)不一定等于K，但与C2形状无关。
三、计算题（共 3 小题，30 分）
1、求函数 z ln(x 2 y 2 e xy ) 的全微分。
2、函数 z z(x, y) 由方程 ez yz x 2
2、设 u cosh(xy) cos(xy) ，则 d u = ______________.
3、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的
体积可用二重积分表示为___________________________________________.
(A)
x2
y
y2
x (B) x 2 y 2
y (C)
x2 y2
x (D)
x2 y2
4、曲线 x t, y 4 t , z t 2 在点 (4,8,16) 处的法平面方程为( )
(A)
x y 8z 132
(B) x y 8z 140
(C)
x - y + 8z = 124
(D) x y 8z 116
1、解：
z x
2x ye xy x 2 y 2 e xy
,
z 2 y xe xy y x 2 y 2 e xy
（8分）
d z
1
(2x ye xy ) d x (2 y xe xy ) d y （10分）
x 2 y 2 e xy
2、解：当 x 0, y 0 时, z 1
e
ln(1
x)
所确定，求
2 y
z
2
x0 。
y0
3、 y dx x dy , L 是以A(1,0), B(0,1)及E(-1,0)为顶点的三角形正向周界；
L
四、证明题（10 分） 设 f (x, y) Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F ，且 A 0, B2 AC 0 ，证明
二、选择题（共 5 小题，20 分）
1、设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。用L上的点M1，
M2，…Mn－1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为ΔSi·(ζi,ηi)为第i小段上的一点
，i=1,2,…,n。则函数f(x,y)在曲线L上的对弧长的曲线积分
()
n
(A) f (i ,i )Si 1
BD AE AC B2
（4分）
D f xx
f xy
2A
2B
f yx f yy 2B 2C
D( P) 4( AC B2 ) 0 （8分）
, f xx ( P) 2 A 0
故函数 f (x, y) 在点 P(x0 , y0 ) 处取极小值 f (x0 , y0 ) 。 （10分）
CaoPorn / ooA217JlTyW5
4、函数 z x 2 y 2 在闭域 D: x y 1上的最小值是______________.
5、设函数 F(u,v) 具有一阶连续偏导数，且 Fu (2,6) 4, Fv (2,6) 2 ，则曲面
F(x y z, xyz) 0 在点 (3,2,1) 处的切平面方程为______________.
山东大学《数学分析III》期末复习参考题
题 号
一
二
三
四
总 分
得 分
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi(i=1,2,
…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限
存在(其中
入是___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作
6、极限 lim arctan(x y) = .
x1 y0
3 x3 y
7、函数 arcsin(x 2 y 2 ) 的定义域为.
8、设f(x,y)是连续函数，则二次积分 _______.
9、设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知
交换积分次序后为___ =________.
10、设向量场A=(z3+xy)i+(y3+2yz)j+(x3+3zx)k,则A的旋度rotA=__________.
存在一点 (x0 , y0 ) ，使得 f (x0 , y0 ) 为极小值。
《数学分析I 10 小题，40 分） 1、△σi(i=1,2,…,n)的最大直径。
2、sinh(xy) sin(xy)( y d x x d y)
3、 [f(xy)]2dxdy.
n
(B)
lim
0 1
f ( i
,i )Si
n
(C)
lim
0 1
f ( i
,i )Si
,且极限值与L的分法无关，与(ξi,ηi)的取法无关。
n
(D)
lim
0 1
f ( i
,i )Si
，其中ΔSi必须有相等的长度。
其中入为ΔSi的长度的最大值。
2、设C的曲线方程为
，则
()
3、设 u arctan y ，则 u =( ) x x