解：（1）．分割 在区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1个点，将区 Si' 之后，对这些近
间0 ,1等分成 n 个小区间：
y
0
,
1 n

，

1 n
,
2 n

，…，
n 1 n
, 1
y=x 2
记第 i个区间为 Nhomakorabeai
1 , n
i n
(i
样的形状？有几种方案？ （分割） （提出自己的看法，同伴之间进行交流。）
探究 2：采用哪种方案好？你能把分割的 几何图形面积写出代数式子吗？（近似代 替）、（求和）
探究 3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取 极限）
（写出分割无限多时，相应的数学含义。）
例 1：求图中阴影部分是由抛物线 y x2 ，

lim
n
1 3
1
1 n

1

1 2n


1 3
求由曲线 y x2 与直线 x 2 ， y 0 所围成的平面图形的面积 S 。
从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们 都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为 求一个特定形式和的极限，
n
S lim f x0 i1
i
x lim n 1 f n n i1
i
进一步熟悉求 “一个和式的极限” 的算法，体会“以直 代曲”，“逼近”的 数学思想.
引导学生舍弃具 体问题，抽象得到求 定积分的概念，由浅 入深、由易到难、由 特殊到一般，帮助学 生完成思维的提升.

i
1 n
,
i n
上，可以认为函数
f
x
x2 的值变化很小，
定求曲边梯形的面 积的“四步曲”：分
课堂练习
北京市朝阳区高二数学研究课——周明芝
近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等
y
于左端点
i
1 n
处的函数值
f

i
1 n

，从图形
y=x 2
上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似的代
1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方 法和步骤： 分割、近似代替、求和、取极限；
2．经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想， 学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思 想；
3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 投影展台，几何画板．
1,
2,
, n) ，其长
O
i-1 i 1 x nn
度为 x i i 1 1 nn n
分别过上述 n 1个分点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯
形，他们的面积分别记作：
n
S1 ， S2 ，…， Sn ,显然， S Si i 1
似值求和，就得到曲 边梯形面积的近似
（4）取极限
分别将区间 0 ,1 等分 8，16，20，…等份（如图），可以看到，
当
n
趋向于无穷大时，即 x
趋向于
0
时，Sn

1 3
1

1 n

1

1 2n

趋
向于 S ，从而有
S

lim
n
Sn
lim n
n i 1
f
i 1 n
1 n
3.思考：定积分的几何意义是什么？
将区间[a,b] 等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi1 , xi 上取一点
i i 1,2,
,n ，作和式：
n i 1
f i x
n i 1
b
n
a
f

i

当 n ）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函
b
数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分。记为： f (x)dx 即 a
北京市陈经纶 中学
教材内容分析
学生情况分析
教学目标
教学重点 教学难点 教学方式 辅助工具
北京市朝阳区高二数学研究课——周明芝
定积分的概念
高二（3）班
人教 A 版选修 2-2 教材
周明芝
1
2013.3.18
微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理 学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积 分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直 观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念 及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。
位：km）是多少？
2
创设情境，引入 这节课所要研究的 问题.
如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 y f (x) 的一
提出概念， 引导探究
段，我们把由直线 x a , x b(a b) , y 0 和曲线 y f (x) 所围成
的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ 探究 1：怎样分割？分割成多少个？分成怎
x
i 12 n
1 (i n
1,2,, n)
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积 Sn 为
Sn

n
Si
i1

n i1
f i 1 x n
n i 12
i1 n
1 n
=
=
=
=
从而得到 S 的近似值 S Sn =
直线 x 1以及 x 轴所围成的平面图形的
面积 S。
教师引导学生 一步一步解决问题： 如何分割曲边梯形， 如何计算分割后的 每一个小曲边梯形
的面积 Si ，如何对
每个小曲边梯形“以 直代取”，引导学生 要用运动、变化的观 点看待这些小曲边 梯形，鼓励学生说出 不同的近似代替的 方法，鼓励敢于说出 自己观点的同学. 在得到每个小曲边 梯形面积的近似值
值 Sn ．分割越细，
面积的近似值 Sn 就
越精确. 当分割无 限变细时，这个近似 值就无限逼近所求 曲边梯形的面积
S ．也即：用化归为
计算直边图形面积
和 Sn 逼近的思想方
（2）近似代替
记 f x x2 ，如图所示，当 n 很大，即 x 很 法求出曲边梯形的
面积 S ．最后共同确
小时，在区间
我所教的实验班学生基础较好，师生之间感情融洽，课堂有浓厚的学习氛围。学生 前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、变化快慢、极值及生活中的优化 问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，很容易把导数切线的几何意义以及刘 徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够感受到“以直代曲”和“无限逼近”的 重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，不容易发现一般规律。在对定积分 定义的归纳中也会有一些困难。
教学基本流程
引入新课
北京市朝阳区高二数学研究课——周明芝
教学过程
问题：汽车以速度 v 组匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为
S vt ．如果汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度为 vt t2 （单
位：km/h），那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S（单
b a
f (x)dx = lim n
n i 1
baf n
i
其中函数 f (x) 叫做 区间， b 积分 ， a 积分
， x 叫做
。
变量，区间[a,b] 为
课堂小结
１．定积分的实质? ２．定积分的思想和方法?
师生共同完成 对本节课的回顾，最 后由教师归纳总结 出本节课所学习的 数学知识和数学思 想.
布置作业
1.求由曲线 y x3 与直线 x 1 ， y 0 所围成的平面图形的面积 S . 2.如果汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t) t2 2 ，那么 它在 0 t 1这段时间内行驶的路程 s 是多少？
通过作业发现和 弥补教学中的不足， 注重个体差异，因材 施教．
4 北京市朝阳区高二数学研究课——周明芝
归纳总结， 形成概念
n
S

lim
t 0
i 1
v
i
t

lim
n
n i 1
1v n
i
事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 定积分的概念 ：
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b
替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区 O
间

i
n
1
,
i n
上，用小矩形的面积 Si 近似
i-1 i 1 x nn
3
割，近似代替（以直 代曲），作和，取极 限（逼近）
的代替 Si ，即在局部范围内“以直代取”，则有
Si

Si

f i 1 x n
i 12 n