组合图形中圆的周长与面积
戴龙
一、学习目标：
1．巩固加深对圆的周长与面积的理解与计算，掌握在组合图形中求圆的周长及面积的方法。

2．提高自己思维的灵活性。

二、知识基础：
1．什么叫圆的周长？围成圆的曲线的长叫圆的周长。

什么叫圆的面积？圆所占平面的大小叫圆的面积？ 2．怎样求圆的周长和面积？ 圆的周长：c=πd 或c=2πr 。

圆的面积：2
r S π=
3．一个边长2分米的正方形剪下一个最大的圆，圆的周长为（6.28）分米。

面积为（3.14）平方分米。

4．在一个正方形内做一个最大的圆，圆的面积是正方形面积的（
4
π） 正方形的边长就是圆的直径，设圆的直径为2r ，半径为r ，圆面积为2r π 正方形边长就为2r ，正方形面积为24)2()2(r r r =⨯
所以4
42
2
π
π=
=
÷r
r 正方形面积圆面积
三、方法例谈
例1：将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分周长。

请认真看图：阴影部分周长是由哪些组合起来的？
怎样分别求出这几部分的长度？
厘米31=B O
厘米1231212=-=-=O O A O A O
AC=2—1=1厘米
112r C O π=；
1121r C O π= 222
1
r C O π= cm r r C C O O 7.15214.3314.32
1
212121=⨯+⨯=+=+ππ 阴影部分周长：厘米两个半圆7.197.15131=++=++AC B O
答：阴影部分周长为19.7厘米
例2：如图：从点A 到点B 沿大圆周长和沿着中、小圆的周长走，路程相同吗？
①认真看图：大圆周是由哪几部分组成？中、小圆周是由哪几部分组成？ ②这题是要我们求什么？
求大圆的半周长，求中、小圆的半周长，然后进行比较大小 ③怎样进行计算呢？
设中圆直径为D ，小圆直径为d ，则：大圆直径为D+d ，所以
d D d D C πππ2121)(21+=+=大
D C π21=中 d C π21=小 d D C C ππ2
121+=+小中
所以：小中大C C C +=
这就是说两种求法经过的路程是相同的。

小结：求组合图形的周长时要首先认真看图，认真观察看所求周长是由哪几部分组成的，最后确定解答方法。

尝试练习：一个圆的周长增加了10厘米，这个圆的半径增加了多少？ 解：这个题可以看作现在的圆周长与原来圆周长组合而成的复合图形。

设现在圆周长为
1C ，原来为2C ，现在圆的半径为R ，原来圆的半径为r 。

1021=-C C 即2πR-2πr=10
2π（R-r ）=10
cm r R 59.114
.3210
210≈⨯==
-π。

答：这个圆的半径增加了1.59cm.
例3．在下列各图中，正方形边长为a ，求阴影部分面积 （1） （2）
师：首先进行观察（1）（2）两图中阴影均为不规则图形，不能直接求出其面积。

（1）中可用正方形面积减扇形面积。

（1）正方形面积为：2
a a a =⨯ 扇形面积为：2
4
1a π 阴影面积：2222
215.0)14.34
1
1(41a a a a =⨯-=-
π （2）先求扇形面积，再减去空白三角形的面积：
扇形面积241a π=
；221a =空白三角形面积 阴影面积2
222285.0)2
141(2141a a a a =-=-=ππ。

师：在组合图形中，有些图形面积不易直接计算，可以先求出一个比它更大的图形的面
积，再减去比原图形多的那个图形的面积。

简单说，先多算一点，再把多算的部分减去。

例4．在下图中，圆的半径为r ，求阴影部分的面积。

解法I ：认真观察，会发现
圆的水平直径将这个图形分为上、下两层，显然有如下关系：
上面阴影面积：222
57.02
1r r r =-=
-π三角形半圆 下面阴影面积：因为圆的水平直径将圆分为上、下两部分，底为4r
2243.12
1
)42(21r r r r r =-⨯+π 整个图形中阴影面积为：2
2
2
243.157.0r r r =+
小结：当某些图形面积不易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加简单地说就是化整为零。

解法Ⅱ：将原图的上半部分以水平直径为轴顺时针旋转，使阴影部分进行拼和而成为两个三角形：
由此可看出所求面积是梯形面积与三角形面积的差。

如果将左图中右边带阴影三角形逆时针旋即可成为如下图：
显然这个大三角形的两条直角边都等于2r，所以：
2
2
2
2
2r
r
r
S=
÷
⨯
=
小结：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当地拼接成一个易于直接计算的图形，也就是说化零为整。

四、解决问题：
①如图，已知半圆的面积是78.5平方厘米，求阴影部分面积
认真观察会发现：阴影面积是先求出长方形面积，再用长方形减去半圆面积。

即先多求一点。

再减去多余部分。

半圆面积：
5.
78
2
1
2=
r
π
平方厘米
50
14
.3
157
2
5.
78
2=
÷
=
÷
⨯
=π
r
长方形面积：
平方厘米
100
2
22=
=
⨯r
r
r
阴影面积：100-78.5=21.5平方厘米
②正方形ABCD中，BD为20厘米，另外C又在以A为圆心的圆周上，求阴影部分面积
以BD 为底三角形BDC 的高为
cm BD 102
1
= 所以△BDC 面积为2
10021020cm =÷⨯= 正方形面积为2
2002100cm =⨯ 大扇形面积为22
31440014.34
1
4
1cm r =⨯⨯=
π 阴影面积为：2
114200314cm =-
五、知识结构：
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧化零为整化整为零部分多求一点，再减去多余面积周长：由哪几部组成圆
六、结束语：
组合图形，构图不是单一的，大家要认真观各部分之间关系，或求差，或化整为零，或化零为整。

有时还要综合运用，才能透过复杂现象，寻求到解决问题的办法。

同学们，这节课就上到这里，再见。