南昌市2018学年度高三新课标第二轮复习测试卷 数学（2）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,(1)}M z i =+，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{1,2,3,4}M N =，则复数z 在复平面上所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数()f x =A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]3．（理）若111000(1),(1),(sin 1)x a x dx b e dx c x dx =-=-=-⎰⎰⎰，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b << （文）若1sin 23α=，则2cos ()4πα+=A ．23B ． 12C ． 13D ． 164．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若223,15,63k k k S S S -+===，则q = A ．2- B ．2 C ．4- D ．45．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，对任意的实数x 均存在a 使得()()(0)f a f x f ≤≤成立，且||a 的最小值为2π，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[,]()2k k k Z πππ-∈B ．[,]()2k k k Z πππ+∈C ．[2,2]()2k k k Z πππ-∈D ．[2,2]()2k k k Z πππ+∈6．已知椭圆:)20(14222<<=+b by x ,左右焦点分别为21F F ，,,过1F 的直线l交椭圆于,A B 两点，若||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是A ．1B ．2C ．23D ．37．已知平面α，命题甲：若//,//a b αα，则//a b ，命题乙：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，则下列说法正确的是A ．当,a b 均为直线时，命题甲、乙都是真命题；B ．当,a b 均为平面时，命题甲、乙都是真命题；C ．当a 为直线，b 为平面时，命题甲、乙都是真命题；D ．当a 为平面，b 为直线时，命题甲、乙都是假命题；8．（理）51()(2)ax x xx+-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 A ．40- B ．20- C ．20 D ．40（文）从[0,3]中随机取一个数a ，则事件“不等式|1||1|x x a ++-<有解”发生的概率为A ．56B ．23C ．16D ．139．已知函数2()2f x x x =+的图像在点11(,())A x f x 与点2212(,())(0)B x f x x x <<处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为 A ．12B ．1C ．32D ．210．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一 直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)11．已知两个不共线的单位向量,a b ，(1)c ta t b =+-，若()0c a b ⋅-=，则t = ．12．在OAB ∆中，120o AOB ∠=，OA OB ==，边AB 的四等分点分别为123,,A A A ，1A 靠近A ，执行下图算法后结果为 ．13．已知2()sin 21xf x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ． 14．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为 ．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分） ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点(2,)2A π，点B 在直线cos sin 0ρθθ+= 上运动，则线段AB 的最短长度为 ．②（不等式选做题）若函数()2()log |1||5|f x x x a =-+--的值域为R ,则实数a 的取值范围为 ．（文）1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推，第n 个等式为 ．三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32C ππ<<且sin 2sin sin 2b Ca b A C=--． （I ）判断ABC ∆的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．17．（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：221220n n n n S S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12(1)(1)n n n n b S a -=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有2n T <．18．（本小题满分12分）（理）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X ，求X 的分布列与期望． 下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)（文）一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y ，求2y x <+的概率．19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，060ABC ∠=， 四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． (1) 求证：BC ⊥平面ACEF ；(2)（文）若点M 在线段EF 上移动，点N 为AB 中点，且MN ∥平面FCB，试确定点M的位置，并求此时MN的长度．（理）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面45，若存在，求出点M的坐标；MAB与平面FCB所成的二面角为0若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为'P 、'Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．21．（本小题满分14分）（理）设函数321()(4)3f x mx m x =++，()lng x a x =，其中0a ≠． （1）若函数()y g x =图象恒过定点M ,且点M 在()y f x =的图象上,求m 的值；(2)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性；(3)在(1)的条件下,设(),1()(),1f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、 Q ,使OPQ ∆ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由． （文）设函数322()=(0)f x x ax a x m a +-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[1,1]x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围； （3）若对任意的[3,6]a ∈,不等式()1f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立,求m 的取值范围．南昌市2018-2018学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学（2 ）参考答案一、选择题：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题5分，共25分．11．12； 12．9； 13．5； 14．4 15．（理）1；○24a ≥ （文）213(21)(1)(2)(2)n n n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯…… 三、解答题：（本大题共6小题共75分） 16．解：（1）由sin 2sinA sin 2Cb Ca b =--及正弦定理有sin sin 2B C = 所以2B C =或2=2B C π+ 若2B C =，且32C ππ<<，所以23B ππ<<或B C π+>（舍） 所以2=2B C π+，则A C =，所以ABC ∆为等腰三角形． （2）因为||2BA BC +=，所以222cos 4a c ac B ++⋅=，因为a c =，所以222cos a B a -=，而cos cos2B C =-，32C ππ<<，所以1cos 12B <<，所以2413a <<，又2cos 2BA BC ac B a ⋅==-，所以2(,1)3BA BC ⋅∈17．解：（1）221220n n n n S S ++-=，122)0n n n n S S +-+=（)(，解得2n n S = 当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=（1n =不适合） 所以12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，111211211(1)(1)(21)b S a -===---，1112T b ==<；当2n ≥时，111211(21)(21)2121n n n n n nb ---==----- 22311111111()()()212121212121n n n T -=+-+-++------- 12221n=-<- 综上，对于任意的*n N ∈，都有2n T <． 18．（理）解：(1) 列联表补充如下：（2）∵2250(2015105)30202525K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯8.3337.879≈>∴有99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.（3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为021*******(0)20C C P X C ===，1110152251(1)2C C P X C ===，2010152253(2)20C C P X C === 故X 的分布列为：X 的期望值为7134012202205EX =⨯+⨯+⨯= ． （文）解：（1）袋中随机取两球的基本事件共有1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)（，其中编号之和不大于4的基本事件有1,2),(1,3)（两种，所求的概率21==63P ． (2)从袋中依次有放回地两次取球的基本事件总数为44=16⨯（种） 当1x =时，23x +=，此时y 可取1,2两种情况； 当2x =时，24x +=，此时y 可取1,2,3三种情况； 当3x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况； 当4x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况， 所以，所求事件的概率2344131616P +++==． 19．解：(1) 证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60o ， ∴ 2AB =，2222cos603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=， ∴ 222AB AC BC =+，∴ AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ， ∴ BC ⊥平面ACEF ．(2) （文）设M 为EF 的中点，G 为AC 的中点，连MG ，NG ，则NG ∥BC ．因为四边形ACEF 为矩形，所以MG ∥FC ，所以平面MNG ∥平面BCF因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面FCB ，即M 为EF 的中点时符合题意．这时，1MG CF ==，011111cos60222222NG BC AB ==⋅=⨯⨯= 由（I ）BC ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥MG 即MNG ∆为直角三角形，得MN ===（理）由(1)知，AC 、BC 、CF 两两垂直，以C 为原点，AC 、BC 、CF 所在的直线为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系（如图），则00)A ，(010)B ，，，设(01)M a ，，，则(AB =，(,1,1)BM a =-， 设(,,)m x y z =是平面AMB 的法向量，则300m AB y m BM ax y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，取1x =，得(1,3,)ma =， 显然(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，于是cos 2m n <>==，，化简得22)0a +=，此方程无实数解，∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为45o ．20．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x =同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=得椭圆222:12y C x +=．（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212,11x xx x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+． （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x 由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21p Q p Q x x y y +=-…………①2212p p y x +=……………………② 2212Q Q y x +=……………………③由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++=∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．21．（理）解：(1)令ln 0x =,则1x =,即函数()y g x =的图象恒过定点(1,0)M , 则1(1)(4)03f m m =++=，∴3m =- ．(2)2()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+∞,8()2(82)F x mx m x '=+++ =22(82)8mx m x x +++=(28)(1).mx x x++0x >,则10,x +>∴当0m ≥时,280,()0,mx F x '+>> 此时()F x 在(0,)+∞上单调递增,当0m <时,由()0F x '>得40x m <<-,由()0F x '<得4x m>-, 此时()F x 在4(0,)m -上为增函数, 在4(,)m-+∞为减函数,综上当0m ≥时,()F x 在(0,)+∞上为增函数；0m <时,在4(0,)m-上为增函数,在4(,)m-+∞为减函数．(3)由条件(1)知32,1,()ln , 1.x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨>⎩假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧设(,())(0)P t G t t >,则32(,),Q t t t -+因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形, 所以0OP OQ ⋅=，232()()0t G t t t -++= ① 当01t <≤时,32()G t t t =-+，此时方程①为23232()()0t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=． 此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在当1t >时,()ln G t a t =,方程①为232ln ()0t a t t t -+⋅+=,即1(1)ln ,t t a=+ 设()(1)ln (1)h t t t t =+>,则1()ln 1,h t t t'=++显然当1t >时()0h t '>即()h t 在(1,)+∞上为增函数,所以()h t 的值域为((1),)h +∞,即(0,)+∞,所以10a>，即0a >． 综上所述,如果存在满意条件的P 、Q ,则a 的取值范围是0a >． （文）解：（1）∵22()=323()()3a f x x ax a x x a '+-=-+，又0a >，∴当x a <-或3ax >时，()0f x '>；当3a a x -<<时，()0f x '<．∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞-，(,)3a +∞，单调递减区间为(,)3a a -． （2）由题设可知，方程22()=320f x x ax a '+-=在[1,1]-上没有实根，∴(1)0(1)00f f a '-<⎧⎪'<⎨⎪>⎩，解得3a >． （3）∵[3,6]a ∈，∴由（Ⅰ）知[1,2]3a ∈，3a -≤- 又[2,2]x ∈-，∴max (){(2),(2)}f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++ 又∵()1f x ≤在[2,2]-上恒成立，∴max ()1f x ≤，即28421a a m -+++≤ 即2942m a a ≤--在[3,6]a ∈上恒成立∵2942a a --的最小值为87-，∴87m ≤-．。