（Ⅲ）已知数列 A2n1 的特征值为 n 1，求
| xi xj | 的最小值.
1i j2n1
海淀区 2020 届高三年级第一学期期末练习参考答案
数学
2020.01
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
（D） (1, 0)
（3）下列直线与圆 (x 1)2 ( y 1)2 2 相切的是
（A） y x
（B） y x
（C） y 2x
（4）已知 a, b Î R ，且 a > b ，则
（D） y 2x
（A） 1 < 1 ab
（B） sin a > sin b
（5）在 (x 1 )5 的展开式中， x3的系数为
高三年级（数学）第 4页（共 5 页）
（22）（本小题共 14 分） 给定整数 n(n 2) ，数列 A2n1：x1, x2 ,, x2n1 每项均为整数，在 A2n1 中去掉一项
xk , 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大 值记为 mk (k 1, 2,, 2n 1) . 将 m1, m2 ,, m2n1 中的最小值称为数列 A2n1 的特征值.
A1
B1
C ，C1 不重合），Q1 = fg [ fb (P)] ，Q2 = fb [ fg (P)] . 给出下
P
列三个结论：
D
C
①线段
PQ2
长度的取值范围是
[
1 2
,
2)； 2
②存在点 P 使得 PQ1 ∥平面 b ；
③存在点 P 使得 PQ1 ^ PQ2 .
其中，所有正确结论的序号是
A
B
（A）①②③
抽取 10 个小区进行调查，若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入
调查，记这 2 个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
（20）（本小题共 14 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1
(a b
0) 的右顶点
A2,0 ，且离心率为
3． 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（1）已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4，则集合 A ðU B 是
（A）1,3,5, 6}
（B） 1, 3, 5}
（C） 1, 3}
（D）1, 5}
（2）抛物线 y2 4x 的焦点坐标为
（A） (0,1)
（B） (1，0)
（C） (0, 1)
2
2
2
f (x)
0
2
0
2
0
（15）用“五点法”作函数 f (x) Asin(x ) 的图象时，列表如下：
高三年级（数学）第 2页（共 5 页）
则 f (1) _________， f (0) f ( 1) _________. 2
（16）已知曲线 C： x4 y4 mx2 y2 1（ m 为常数）.
sin BAD sin CAD
2
高三年级（数学）第 1页（共 5 页）
（9）声音的等级
f
( x )（单位：dB）与声音强度
x（单位：W /m2
）满足
f
(x)
10
lg
x 11012
.
喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 140dB；一般说话时，声音的等级约为 60dB，那
么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学
2020. 01
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
高三年级（数学）第 3页（共 5 页）
小区 指标值 权重 教育与文化（0.20） 医疗与养老（0.20） 交通与购物（0.32） 休闲与健身（0.28）
A 小区
0.7 0.7 0.5 0.5
B 小区
0.9 0.6 0.7 0.6
C 小区
0.1 0.3 0.2 0.1
注 ： 每 个 小 区 “15 分 钟 社 区 生 活 圈 ” 指 数 T w1T1 w2T2 w3T3 w4T4 ， 其 中 w1, w2 , w3, w4 为该小区四个方面的权重，T1,T2 ,T3,T4 为该小区四个方面的指标值（小区 每一个方面的指标值为 0~1 之间的一个数值）.
x
（A） -5
（B） 5
（C） (1)a < (1)b 33
（C） -10
（D） a2 > b2 （D）10
（6）已知平面向量 a, b, c 满足 a b c 0 ，且 | a || b || c | 1 ，则 a b 的值为
（A） - 1 2
1 （B）
2
（C） - 3 2
（D） 3 2
（7）已知 , , 是三个不同的平面，且 =m ， =n ，则“ m∥n ”是“ ∥ ”的
题号
1
2
3
4
5
678源自910答案 D
B
A
C
A
A
B
C
B
D
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
题号 11
12
13
14
15
16
答案
0
2
2
(1,16)
2； 0
1 ②③； m 2 均可
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（17）解：（Ⅰ） f (x) 1 cos 2x 3 sin 2x 1
（Ⅰ）已知数列 A5 :1, 2, 3, 3, 3 ，写出 m1, m2 , m3 的值及 A5 的特征值； （Ⅱ）若 x1 x2 x2n1 ，当[i (n 1)][ j (n 1)] 0 ，其中 i, j {1, 2,, 2n 1}且
i j 时，判断 | mi mj | 与 | xi x j | 的大小关系，并说明理由；
现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组 [0,0.2） [0.2,0.4） [0.4,0.6） [0.6,0.8） [0.8,1]
频数
10
20
30
30
10
（Ⅰ）分别判断 A，B，C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅱ）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，
（Ⅱ）设 O 为原点，过点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 P ， Q ，直线 AP 和 AQ 分别
与直线 x 4 交于点 M , N ．求△ APQ 与△ AMN 面积之和的最小值.
（21）（本小题共 13 分） 已知函数 f (x) ex (ax2 1) (a 0) .
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）若函数 f (x) 有极小值，求证： f (x) 的极小值小于1.
3) ，点 B , C
x2 分别为双曲线
a2
y2 3
1
(a 0) 的左、右顶点.
若△ABC
为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.
（14）已知函数 f (x) x a 在区间 (1, 4) 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是_________. x
x
1
1
4
2
5
11
4
2
4
x
0
3
(0, 0, 2) ， B(1,1, CM (1, 0,1) ，
0) ， M (1, 0,1) ，
CN
(
1
,
1
,1)
.
22
N
(
1 2
,
1 2
,1)
.
设平面 CMN 的法向量为 n (x, y, z) ，
则
n
CM
0,
n CN 0.
x z 0,
即
1 2
x
1 2
y
z
0.
令 x 1则 y 1， z 1,
kπ
π 3
, kπ
π 6
(k
Z)
.
（Ⅱ）方法 1：因为 x [0, m] ，
所以 2x π [ π , 2m π] .
66
6
又因为 x [0, m] ， f (x) sin(2x π ) 的最大值为 1， 6
所以 2m π π . 62
解得 m π . 6
所以 m 的最小值为 π . 6
（A）106 倍
（B）108 倍
（C）1010 倍
（D）1012 倍
（10）若点 N 为点 M 在平面a 上的正投影，则记 N = fa (M ) . 如
D1
C1
图 ， 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 ， 记 平 面 AB1C1D 为 b ，平面 ABCD 为g ，点 P 是棱 CC1 上一动点（与
VAC ，
所以VC 平面 ABC .
又因为 AB 平面 ABC ， 所以 AB VC .
（Ⅲ）在平面 ABC 内过点 C 做 CH 垂直于 AC，
由（Ⅱ）知，VC 平面 ABC ，
因为 CH 平面 ABC ，