第6章 函数一、选择题（每题3分）1、设{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则下列关系中能构成A 到B 函数的是（ C ） A 、1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B 、2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C 、4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D 、1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><>2、设R Z N 、、分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ） A 、)}10(),(|,{<+∧∈><y x N y x y x B 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< C 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< D 、{,|(,)(mod 3)}x y x y Z x y <>∈∧≡3、设Z 为整数集，则二元关系{,23}f a b a Z b Z b a =<>∈∧∈∧=+ （ B ） A 、不能构成Z 上的函数 B 、能构成Z 上的函数 C 、能构成Z 上的单射 D 、能构成Z 上的满射4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()0x f x x ⎧=⎨⎩若为奇数若为偶数，则f （ D ）A 、为单射而非满B 、为满射而非单射C 、为双射D 、既非单射又非满射 5、设f 为整数集Z 上的函数，且()f x 为x 除以5的余数 ，则f （ D ）A 、为单射而非满B 、为满射而非单射C 、为双射D 、既非单射又非满射 6、设R Z 、分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ） A 、:,()6f R R f x x →=+ B 、2:,()(6)f R R f x x →=+ C 、:,()[]f R Z f x x →= D 、6:,()6f R R f x x x →=+7、设R R Z +、、分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ）A 、2:,()71f R R f x x x →=-+- B 、x x f R Zf ln )(,:=→+；C 、:,()f R R f x x →= D 、:,()71f R R f x x →=+8、设Z N E 、、分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ） A 、f : Z E → , ()2f x x = B 、f : Z E → , ()8f x x =C 、f : Z Z →, ()8f x =D 、f : N N N →⨯, (),1f n n n =<+> 9、设3,4X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的单射个数为（ B ）． A 、12 B 、24 C 、64 D 、81 10、设3,2X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的满射个数为（ B ）．A 、6B 、8C 、9D 、64 11、设函数:f B C →，:g A B →都是单射，则:f g A C → （ A ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 12、设函数:f B C →，:g A B →都是满射，则:f g A C → （ B ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 13、设函数:f B C →，:g A B →都是双射，则:f g A C → （ C ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 14、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是单射，则（ B ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 15、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是满射，则（ C ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 16、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是双射，则（ D ）A 、,f g 都是单射B 、,f g 都是满射C 、f 是单射, g 是满射D 、f 是满射, g 是单射二、填充题（每题4分）1、设,X m Y n ==，则从X 到Y 有2mn 种不同的关系，有m n 种不同的函数．2、设,X m Y n ==，且m n ≤，则从X 到Y 有m n A 种不同的单射．3、在一个有n 个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n 种不同的函数，有!n 种不同的双射．4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩，若为奇数若为偶数，,则(0)f =0，[{0}]f ={0} ，[{1,2,3}]f ={1}，[{0,2,4,6,}]f = N ．5、设,f g 是自然数集N 上的函数,x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则()f g x = 21x +，()g f x = 2(1)x +．三、问答计算题（每题10分）1、设{234}A =，，，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系},,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系R 及其逆关系1R -是否为函数？为什么？解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ，则R 的关系图为：R 的关系矩阵为 1101100001011RM ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦关系R 不是A 到B 的函数，因为元素2，4的象不唯一逆关系1R -也不是B 到A 的函数 因为元素7的象不存在．2、设Z 为整数集，函数f ：Z Z Z ⨯→，且(,)f x y x y =+，问f 是单射还是满射？ 为什么？并求(,),f x x (,)f x x -．解：x Z ∀∈, 0,x Z Z ∃<>∈⨯，总有(0,)f x x =，则f 是满射；对于1,2,2,1,Z Z <><>∈⨯，有(1,2)3(2,1)f f ==，而1,22,1<>≠<>，则f 非单射；(,)2,(,)0f x x x f x x =-=． 3、设{1,2}A =，A 上所有函数的集合记为A A , “ ”是函数的复合运算，试给出A A 上运算“ ”的运算表，并指出A A 中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为2A =，所以A 上共有224=个不同函数，令},,,{4321f f f f AA=，其中：14(1)1,(2)2;(1)1,(2)1;(1)2,(2)2;(1)2,(2)1f f f f f f f f ========1f 为AA 中的幺元，1f 和4f 有逆元．4、设R 为实数集，函数f ：R R R R ⨯→⨯，且(,),f x y x y x y <>=<+->， 问f 是双射吗？为什么？并求其逆函数1(,)fx y -<>及(,)f f x y <> ．解： 1122,,,x y x y R R ∀<><>∈⨯，若1122(,)(,)f x y f x y <>=<>， 有11112222,,x y x y x y x y <+->=<+->，则1122,,x y x y <>=<>，故f 是单射；,u v R R ∀<>∈⨯，令2u vx +=，2u vy -=，则,x y R R <>∈⨯，且(,),,f x y x y x y u v <>=<+->=<>，则f 是满射，故为双射； 1(,),22x y x yfx y -+-<>=<> ； (,)(,)(2,2)f f x y f x y x y f x y <>=<+->=<> ． 四、证明题（每题10分）1、设函数f ：A B →，g ：B C →，g 和f 的复合函数g f ：A C →， 试证明：如果g f 是双射，那么f 是单射，g 是满射． 证明：12,x x A ∀∈且12()()f x f x B =∈，则1122()[()][()]()g f x g f x g f x g f x === ，因g f 是单射，有12x x =，故f 是单射；c C ∀∈，因g f 是满射，a A ∃∈，使()[()]c g f a g f a == ，而()f a B ∈，故g 是满射．注：如果g f 是单射，那么f 是单射；如果g f 是满射，那么g 是满射． 2、设f 是A 上的满射，且f f f = ，证明：A f I =．证明：因f 是满射，则对A a ∈∀，存在A a ∈1，使得1()f a a =， 则11()[()]()f f a f f a f a == ，由 f f f = ，知1a a =， 于是()f a a =，由a 的任意性知A f I =． 3、设函数f ：A B →，g ：B A →，证明：若11,f g f g--==，则,A B g f I f g I == ．证明： 因1fg -=,则y B ∀∈,1()()g y fy x A -==∈，有(),()g y x f x y ==，于是，对y B ∀∈，有()[()]()()B f g y f g y f x y I y ==== ，知B f g I = ；又1f g -=，则对x A ∀∈,1()()f x g x y -==，有(),()f x y g y x ==，于是，对x A ∀∈，有()[()]()()A g f x g f x g y x I x ==== ，知A g f I = ． 4、设函数f ：A B →，g ：B A →，证明：若,A B g f I f g I == ，则11,fg f g--==．证明：因恒等函数A I 是双射，则g f 是A 上的双射，有f 是单射，g 是满射； 同样，恒等函数B I 是双射，则g f 是B 上的双射，有f 是满射，g 是单射； 所以，f 和g 都是双射函数，其反函数都存在，故有11,f g f g--==．注：设函数f ：A B →，g ：B A →，证明： 11,fg f g--==⇔ ,A B g f I f g I == ．5、设函数f ：A B →，g ：()B A ρ→，对于b B ∈，(){()}g b x x A f x b =∈∧=，()A ρ为A 的幂集，证明：如果f 是A 到B 的满射，则g 是B 到()A ρ的单射．证明：12x x B ∀≠∈,因f 是满射，12,y y A ∃∈,使1122()(),f y x x f y =≠=则12y y ≠； 又由g 的定义知，1122(),()y g x y g x ∈∈，故有12()()g x g x ≠，则g 是B 到()A ρ的单射．。