(vx ) xdx dydz
(vx)|x
dz dx
(vx)|x+dx
dy
x
12
同样，y和z方向流入的质量和流出的质量为
(vy ) y dxdz; (vz ) z dxdy
(vy ) ydy dxdz; (vz ) zdz dxdy
体积元内质量的变化等于通过6个面积流入的质量 和流出的质量之差
dxdydz
第3章 声波的基本性质
3.1 声压的基本概念 3.2 线性化声波方程 3.3 平面声波的基本性质 3.4 能量关系和声的度量 3.5 声波的干涉
1
3.1声压的基本概念
媒质质点的机械振动由近及远的传播称为声振动的传播 或称为声波
2
声的分类
3
不同声音的频率范围
4
5
声压
设体积元受到扰动后，压强从P0改变为P, 则压强的变 化量称为声压（sound pressure）
媒质质点振动速度与声波传播方 向一致——纵波！
声阻抗率
媒质中空间一点的声阻抗率定义
Zs
p v
——能量传播方 向的速度分量！
——等于媒质的
特性阻抗(0c0)。
注意：负号！
平面波
Zs
p v
0c0
41
3.4 声场中的能量关系和度量
声能量与声能量密度
在一足够小的体积元V0内，其体积、压强和密度分
别为: V0, P0, 0
d
2 p(x) dx2
k
2
p(
x)
0
——波矢
27
管道中才能形成平面波
28
通解
p(x) Aexp(ikx) B exp(ikx)
——行波解——自由空间
p(x) Acos(kx) Bsin(kx)
——驻波解——有限空间 考虑到时间变量的行波解
p(x) Aexp[i(kx t)] B exp[i(kx t)]
39
p (x, y, z,t) Aexp[i(t k r)]
—— k 方向传播的平面波
p (x, y, z,t) B exp[i(t k r)]
—— k 方向传播的平面波
40
声速与媒质质点振动速度的区别
0
v t
p
v0
n p0
0c0
p p0 exp[i(t k r)] v v0 exp[i(t k r)]
——一维声波方程
0
v t
p x
p c02
t
0
v x
0
0
v t
c2
x
0
2v t 2
c02
2
tx
2
xt
0
2v x2
1 c02
2v t 2
2v x2
23
三维声波方程
运动方程
dv p
dt
连续性方程
(v) 0
t
物态方程
(0v) p
t
t
(0v)
0
p c02
24
微分运算关系
i j k; A Ax Ay Az
dt t0
t
v lim (r )v(r,t) v (v )v
t t0
t
t
v(r, t )
v(r r,t t)
d (v ) dt t
全导数 偏导数 对流项 19
线性声学：小振幅声波 非线性声学：有限振幅声波
一维方程线性化
0 ; p P P0; v v0 v
(0, P0, v0 ) ——没有声波时，流体的密度、压强和质
空气中声速
c0
P
s
~ 344m/s
空气
理想气体
绝热过程：PV 常数
P
常数
c0
P
s,0
P0 0
温度 0C : 1.402; P0 1.013105 Pa;0 1.293kg/m3
c0
P0 331.6m/s 0
31
与温度的关系
PV
NkBT
PV
M
RT
P
RT
P0
0
R (273 t)
dt
dvx p
dt x
同理： dvy p dvz p
dt y dt z
矢量形式
dv p
dt
11
连续性方程
质量守恒定律，即媒质中单位时间内流入体积元的质量 与流出 该体积元的质量之差应等于该体积元内质量的增 加或减少
单位时间内通过左侧流 入的质量:
(vx ) x dydz
单位时间内通过右侧流 出的质量:
c0
R (273 t) (331.6+0.6t)m/s
t 20 C: c 344m/s
等温过程：
PV 常数 P 常数
错误
c0
P0 297m/s
0
32
声速与媒质质点振动速度的区别
0
v t
p x
v0
p0
0c
p p0 exp[i(t kx)] v v0 exp[i(t kx)]
动能
Ek
1 2
(
0V0
)v
2
势能
p
Ep 0 pdV
——负号：p增加，V 减小； p减小， V增加.
压缩过程，系统储存能量；膨胀过程，系统释放能量。
42
利用
dp 0c02 dV
V0
Ep
p 0
pdV
V0
0c02
p 0
pdp
V0
20c02
p2体积元内总能量EtEkEp1 2
0V0v2
V0
c0
2
p
0
分离变量解
p(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
34
d2X dx2
YZ
X
d 2Y dy2
Z
XY
d 2Z dz 2
c0
2
XYZ
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d 2Z dz 2
c0
2
0
d2X dx2
kx2 X
0;
d 2Y dy2
k y2Y
t x
y
z
(v) 0
t
——矢量形式
14
物态方程
低频声波动：准平衡态；即使低频声波，在媒质压缩和 膨胀的一个周期内，相邻媒质来不及完成热交换。因此， 声波动过程是一个绝热过程
P P(s, )
p P P0 P(s, ) P0
——流体的本构方程 平衡态热力学中：实验决定； 平衡态统计力学中：原则上，只要知道粒子—粒子相互 作用，可以理论得到状态方程；
15
小振幅声波方程
运动方程
连续性方程 物态方程
dv p
dt
(v) 0
t
p P P0 P(s, ) P0
——非线性方程：5个方程，5个未知数
16
全导数和偏导数
流体运动的2种描述方法
Lagrange描述
(a,b,c)
r0(a,b,c,0)
O
r(a,b,c,t)
v(a,b, c,t) lim r(a,b, c,t t) r(a,b, c,t) r
1Pa=1N/m2 ——人耳对1kHz声音的可听阈约为 2105 Pa ——微风吹动树叶的声音 2104 Pa
——飞机发动机的声音 200Pa
声源 振动：弦；笛；鼓…… 气动：流体噪声…… 压电效应、磁致伸缩效应……
8
9
3.2 线性化声波方程
理想流体的基本方程
三个基本物理定律： 牛顿第二定律、质量守恒定律、物态方程
x y x
x y x
标量 矢量
矢量 标量
p p p
p
p
p
p
i x
y
j
z
k
Ax = x ;
Ay = y ;
Az = z
(p)
2 p x2
2 p y2
2 p z 2
2
p
25
(0v) p
t
(0v) (p) 2 p
t
t
(0v)
0
p c02
2
t 2
t
(0v)
0
2
t 2
2
p
0
1 c02
2 p t 2
37
2种典型情况
p (x, y, z) Aexp(ik r)
包括时间部分
p(x, y, z,t) Aexp[i(t k r)] B exp[i(t k r)]
意义分析：
p (x, y, z,t) Aexp[i(t k r)] p (x, y, z,t) B exp[i(t k r)]
p(x, y, z) B exp(ik r)
kxx ky y kzz k r
如果取
p(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z) B exp[i(kxx ky y kzz)]
p(x, y, z) B exp(ik r)
kxx ky y kzz k r
——意义不大了——相当于第2种情况中，kz取负号！
20c02
p2
能量密度
Et V0
1 2
0
v2
1
02c02
p
2
43
平面波 实数形式
p p0 exp[i(t k r)] v v0 exp[i(t k r)]
p p0 cos(t k r) v v0 cos(t k r)
意义分析
p (x) Aexp[i(kx t)] p (x) B exp[i(kx t)]