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中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习题

类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这一命题,用所学知识来解释可理解为:设一尺长的木棍,第一天折断一半,其长为12尺,第二天再折断一半,其长为14尺,…,第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺. 12n2. 如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是________.第2题图41【解析】由图形可知,第n 行最后一个数为1+2+3+…+n =n (n +1)2,∴第8行最后一个数为8×92=36=6,则第9行从左至右第5个数是36+5=41. 3. 观察下列关于自然数的式子: 第一个式子:4×12-12 ①第二个式子:4×22-32 ② 第三个式子:4×32-52 ③ …根据上述规律,则第2019个式子的值是______.8075 【解析】∵4×12-12=3①,4×22-32=7②,4×32-52=11③,…,4n 2-(2n -1)2=4n -1,∴第2019个式子的值是4×2019-1=8075. 4. 将数1个1,2个12,3个13,…,n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列:1,12,12,13,13,13,…,1n ,1n ,…,记a 1=1,a 2=12,a 3=12,…,S 1=a 1,S 2=a 1+a 2,S 3=a 1+a 2+a 3,…,S n =a 1+a 2+…+a n ,则S 2019=________.63364 【解析】根据题意,将该数列分组,1个1的和为1,2个12的和为1,3个13的和为1,…;∵1+2+3+…+63=2016个数,则第2019个数为64个164的第3个数,则此数列中,S 2019=1×63+3×164=63364.类型二 图形规律5. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1,第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2,第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3,…,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).观察每次变换前后的三角形的变化,按照变换规律,则点A n的坐标是________.第5题图(2n,3)【解析】∵A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,∴纵坐标不变,为3,横坐标都和2有关,为2n,即点An的坐标是(2n,3).6. 如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置,…,则正方形铁片连续旋转2019次后,点P的坐标为________.第6题图(6058,1) 【解析】∵铁片OABC 为正方形,A (3,0),P (1,2),∴正方形铁片OABC 的边长为3,如解图第一个循环周期内的点P 1,P 2,P 3,P 4的坐标分别为(5,2),(8,1),(10,1),(13,2),每增加一个循环,对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4=504……3,即504个循环周期后点P 2016的横坐标为504×12+1=6049,纵坐标为2,所以点P 2019的横坐标为6049+9=6058,纵坐标为1.故P 2019(6058,1).第6题解图7. 如图,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O 1,O 2,O 3,…,组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒π2个单位长度,则第2019秒时,点P 的坐标是________.第7题图(2019,-1) 【解析】∵圆的半径都为1,∴半圆的周长=π,以时间为点P 的下标.观察发现规律:P 0(0,0),P 1(1,1),P 2(2,0),P 3(3,-1),P 4(4,0),P 5(5,1),…,∴P 4n (4n ,0),P 4n +1(4n +1,1),P 4n+2(4n +2,0),P 4n +3(4n +3,-1).∵2019÷4=504……3,∴第2019秒时,点P的坐标为(2019,-1).8. 如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O 逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为________.第8题图(-1,-1)【解析】∵菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),∴BO 与x轴的夹角为45°,∵菱形的对角线互相垂直平分,∴点D是线段OB的中点,∴点D的坐标是(1,1),∵菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,360°÷45°=8,∴每旋转8秒,菱形的对角线交点就回到原来的位置(1,1),∵60÷8=7……4,∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后,又旋转了4秒,即又旋转了4×45°=180°,∴点D的对应点落在第三象限,且对应点与点D关于原点O成中心对称,∴第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(-1,-1).9. 如图,∠MON=60°,作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1,边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上,边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2,以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2,边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3,再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3,…,依此规律,经第n次作图后,点B n到ON的距离是________.第9题图3n-13【解析】由题可知,∠MON=60°,设B n到ON的距离为h n,∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,∴A1B1=1,易知△A1OF1为等边三角形,∴A1B1=OA1=1,∴OB1=2,则h1=2×32=3,又∵OA2=A2F2=A2B2=3,∴OB2=6,则h2=6×32=33,同理可得:OB3=18,则h3=18×32=93,…,依此可得OB n=2×3n-1,则h n=2×3n-1×3 2=3n-1 3.∴B n到ON的距离h n=3n-1 3.10. 如图,正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0,2),O1为正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的对角线AB为边,在AB的右侧作正方形ABO3A1,O2为正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的对角线A 1B 为边,在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4,O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心;再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边,在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2,O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心;…;按照此规律继续下去,则点O 2018的坐标为________.第10题图(21010-2,21009) 【解析】由A (0,2)和A 1(2,4)可知直线AA 1的解析式为y =x +2,由图可知点A 1,A 2,…,A n 的纵坐标分别为22,23,…,2n +1,将y =2n +1代入y =x +2,得2n +1=x +2,∴x =2n +1-2,∴点A n 的坐标为(2n +1-2,2n +1),由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同,O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12,∴O 2n 的坐标为(2n +1-2,2n ),∴当n =1009时,O 2018的坐标为(21010-2,21009). 真题反馈:1. 观察下列一组数:,,,,,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n 个数是 .2. 如图,用黑白两种颜色的菱形纸片,按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案,若第n 个图案中有2017个白色纸片,则n 的值为( )A.671 B.672 C.673 D.6743. 观察下列一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形②中共有6颗星,图形③中共有11颗星,图形④中共有17颗星,…,按此规律,图形⑧中星星的颗数是( )A.43 B.45 C.51 D.534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD 先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据:-2,52,-103,174,-265,…,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第11个数据是.7. 观察下列数据:-2,52,-103,174,-265,…,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第11个数据是.8. 正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是.9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式:32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。

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