标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（ 3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若 sin sin，则 sin k( 1)k；若 cos cos，则2k；若 tan tan，则 a k；若 cot cot，则 a k；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
二、典型例题：例 1.例 2.22-2-O O222-2（A ）（ B）11-2-O O222-1（C）（D ）例 3.例 4. 使 arcsinx arccosx 成立的 x 的取值范围是 ()例 5.例 6.求值： (1) sin 2arcsin3(2) tan 1arccos1523分析：问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。
例7. 画出下列函数的图像（ 1 ）y arcsin(sin x)（ 2 ）y sin(arccos x), x [ 1,1]例 8. 已知 cos27 ,(0, ), sin 5 ,( ,3) 求（用反三角函数252132表示）分析：可求的某一三角函数值，再根据的范围，利用反三角函数表示角。
例 9. 已知函数 f (x) arccos( x2x)（ 1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2 ）解不等式： f ( x) f (2 x1)例 10. 写出下列三角方程的解集(1) sin( x)2;(2) 2cos3 x 1 0 ;(3) cot x382例 11. 求方程 tan(3)3 在0,2上的解集 .x4例 12. 解方程2sin2x 3 cos x 10例 13. 解方程① 3sin x2cos x0② 2sin 2 x 3sin x cos x2cos 2 x0例 14. 解方程： (1) 3 sin 2x cos2x 1(2) 5sin3 x 12cos3x 6.5思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程例 15. 解方程2sin2x3cos x0 ．例16.解方程：tan(x x) 2cotx4) tan(4例 17. 已知方程sin x 3 cos x a 0 在区间0,2上有且只有两个不同的解，求实数 a 的取值范围。
[ 说明 ] 对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（ 1）sin sin，则2k或2k, k Z ；（ 2）cos cos，则2k或2k, k Z ；（3 ）tan tan，则k,k Z ．三、同步练习：反三角函数1.arctan(tan 3)的值是() 5A.3B. 2C.2D.35555 2.下列关系式中正确的是()55 sinarcsinA. arc cos cosB. 3443C. arc cos coscos arc cosD. arc tan( 2) arc cot( 1 )4423.函数 f ( x) arcsin(tan x) 的定义域是( )A.,B. k,k kZ444 4C. k,( k 1)4k ZD. 2k, 2k k Z4444.在1, 3上和函数 yx 相同的函数是()2A. y arccos(cos x)B. y arcsin(sin x)C. ysin(arcsin x)D. y cos(arccos x)函数 y arctan x的反函数是.5.26.求 ysin x 在 ,3上的反函数 .227.比较 arccos5与 arc cot(1) 的大小 .428.研究函数 yarccos x x 2 的定义域、值域及单调性 .9.计算 : cos arccos 4arccos5 51310.求下列函数的定义域和值域：(1) y＝ arccos 1; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arccot(2x－1), x11. 求函数 y＝(arccos x)2－ 3arccos x 的最值及相应的x 的值。
简单的三角方程1.解下列方程 .(1) tan2x1(2) sin5 x sin3 x2.方程 sin2 x＝ sinx 在区间 (0, 2 π)内的解的个数是.3.(1)方程 tan3 x＝tg x 的解集是.(2)方程 sin x＋ cos x＝2在区间 [0, 4 π] 上的所有的解的和是. 24.解方程sin2x 2 3sin x cos x cos2 x0 ．3参考答案：典型例题 :例 1.分析与解：例 2.分析与解：例 3.分析与解：例 4. 分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把 x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
例 5. 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。
例6. 解：例 7. (1) 函数是以 2为周期的周期函数当 x [, ] 时，arcsin(sin x)x22标准实用当 x[ , 3x 其图像是折线，如图所示：] 时， arcsin(sin x)2 2(2) ∵ arccos x [ 0, ] y∴y1 cos2 (arccosx)1 x 2 ( x1)其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例 8.解：∵(0, ) ∴sin1 cos23,cos42255x又∵( , 3) ∴cos 1 sin 212213sin( )sincos cos sin3 124 556()()65513513∵(0, ), sin32∴05242又∵sin5 , ( ,3),∴ arcsin513 213又∵0 5 ∴ 53arcsin4∴2134从而arcsin 5665讲评：由题设(0, ), (,3)，得( ,2) 由计算 sin()562 265∴arcsin 56或2arcsin56，但 , 是确定的角，因而6565的值也是唯一确定的。
所以必须确定所在的象限，在以上的解法中，由 ,的范围，再根据sin , cos 的值，进一步得到(0, ),( 5 ) 从而确定,44( , 3) ，故得出正确的答案：arcsin56265例 9.解：（1 ） 由1x 2 x 1 得15 x 15 又22x2x ( x 1) 21 [ 1,1]2 4 4∴ f ( x) 的定义域为 [12 5 , 1 5 ] ，值域为 [0,arccos 1]24标准实用又∵x [ 15 , 1 ] 时， g ( x) x 2x 单调递减， y arccosx 单调递减，从而 f (x)2 2递增∴ f ( x) 的单调递增区间是 [ 15 , 1 ] ，同理 f (x) 的单调递减区间是 [ 1 , 1 25 ]2 22 （ 2） f (x)f (2x1)即 arccos(x2x) arccos[(2 x 1 ) 2 ( 2x1)]212 2 即 arccos(x 2 x)arccos(4x 2)41 x2 x1∴ 1 4x 21 1 解不等式组得 1x1 ∴不等式的解集为 ( 1,1)4262 6x 2 x 4x 2 14例 10.解集 {x|x=(k π+arctg3) 2，k∈Z}例 11.说明如何求在指定区间上的解集？(1) 先求出通解， (2)让 k 取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3) 写指定区间上的解．例 12. 解：方程化为2cos2x 3 cos x 30说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解．例 13.②除以 cos 2x 化为 2tg 2 x-3tgx-2=0．明关于sinx，cosx的次方程的解法：方程两都除cos n x(n=1 ，2 ，3 ，⋯)(∵cosx=0 不是方程的解 )，化关于 tgx 的方程来解．例 14. 思考：引入助角，化最的三角方程2x-30 °=k180 °+(-1) k 30 °∴x=k90 °+(-1)k15 °+15 °(k ∈Z)所以解集是{x|x=k90 °+(-1)k15 °+15 °，k∈ Z}于是 x=k60 °+(-1) k10 °+22 °38 ′，(k ∈Z)∴原方程的解集为 {x|x=k60 °(-1) k 10 °+22 °38 ′，k∈Z}最简单的三角方程．例 15. 解原方程可化为2(1 cos2 x) 3cos x0 ，即2cos 2 x 3cos x 20 ．解这个关于 cos x 的二次方程，得cosx 2 ，cos x 1 ．2由 cosx 2 ，得解集为；由 cos x 1，得解集为 x x 2k2, k Z ．23标准实用所以原方程的解集x x 2k2, k Z ．3[ 明 ] 方程中的 sin 2 x 可化 1 cos 2 x ， 原方程便可看成以 cos x 未知数的一元二次方程，当 0 ，可用因式分解将原方程 化成两个最 方程，从而求得它 的解．例 16. 解：tg( x ＋)＋tg( x －)＝2ctg x ⋯⋯⋯① ∴1tgx ＋ 1 tgx ＝ 2 ⋯⋯⋯441 tgx 1 tgxtgx② ,去分母整理得 tg 2x ＝ 1 , tg x ＝± 3, ∴ x ＝k π± , k ∈Z,3 3 6由①根据定 知 x ＋≠k π＋ , x － 4≠k π＋ , x ≠k π, k ∈Z,422即 x ≠k π＋ , x ≠k π＋3, x ≠k π, 而②中又增加了限制条件 x ＝ k π＋ , k ∈442Z,即从①到②有可能 根，x ＝k π＋ , 算 x ＝k π＋是原方程的根，22∴ 原方程的解集是 {x| x ＝ x ＝k π± 或 x ＝k π＋, k ∈Z}62例 17. 解：由 sin x ＋ 3 cosx ＋a ＝0 得 2sin( x ＋)＝－ a, sin( x ＋3)＝－ a, －322≤a ≤2∵ x ∈[0, 2 π], ∴ x ＋3∈[, 2 π＋ ],33又原方程有且只有两个不同的解，∴a ≠2, a ≠－2, 即|a|＝2 ，原方程只有一解；又当 a ＝－3 ， sin( x ＋)＝3，得 x ＋3＝ 或2或7,32 33 3解得 x ＝0或x ＝或x ＝2 π,此 原方程有三个解， ∴ a ∈(－2,－ 3)∪(－ 3,32).同步练习 :CCBB7.arccos5 arc cot( 1 )4210. 解： (1) y ＝ arccos 1 , 0<1≤1, ∴ x ≥1, y ∈ [0, ).xx2(2) y ＝ arcsin( －x 2＋ x), －1 ≤－x 2＋x ≤1, ∴15≤x ≤15 ,22由于－ x 2＋1＝－ (x － 1)2＋ 1, ∴ －1≤－x 2＋x ≤1, ∴ －≤y ≤arcsin 1.24424(3) y ＝arccot(2 x－ 1), 由于 2 x－1> －1, ∴ 0<arccot(2 x－1)<3, ∴ x ∈ R,4y ∈(0,3).411. 解：函数 y ＝(arccos x)2－ 3arccos x, x ∈ [－1, 1], arccos x ∈[0, π]设 arccos x ＝t, 0 ≤t ≤π, ∴ y ＝t 2－3t ＝(t － 3)2－ 9,24 ∴ 当 t ＝3时,即 x ＝cos3时 , 函数取得最小值－ 9 ，2 24当 t ＝π时,即 x ＝－ 1 时，函数取得最大值π 2 －3π.简单的三角方程 :1. 解下列方程 .(2)5x=2k π+3x 或 5x=2k π+ π-3xx k或 x2k 18k Z解：作出函数 y ＝ sin2 x 和 y ＝ sinx 的图象，由图象知，它们的交点有 3 个。