反三角函数与最简单的三角方程 (99.9.15) 班别 学号 姓名 成绩 一、 在下面各式中，对的在括号内打√，错的打×。
（10分） (1) arcsin 2π
=1 ( ) (2) arccos 2
1=3
π
±( )
(3) sin(arcsin
215-)=2
1
5-( ) (4) sin(arcsin 3π)=3π( )
(5) arccos[cos(3
π-)]=3
π
-( ) (6) arctg 4π
=n π+4
π,n ∈Z( )
(7) arctg(3-)=
65π( ) (8) x ∈R,arcsinx+arccosx=2π
( ) (9) arcsin(sin 32π)=3π-( ) (10) arccos(cos 21)=3
π
( )
二、 选择题（把答案写在指定的括号内，每题8分，共40分）
1，已知函数y=2
1
arccos
2
1
3-x ，则其定义域和值域分别是（ ） （A ）131≤≤-x 20,π≤≤y （B ）ππ≤≤-≤≤-y x ,131
（C ）2121,31231≤≤-+≤
≤y x π （D ）22,3
1
231≤≤-+≤≤y x π 2，已知x(π，2π)，则arcctg(ctgx)等于（ ） （A ）π－x （B ）x －π （C ）x －2π （D ）2π－x
3，方程cos 2
x=cos 2
6π
的解集是（ ）
（A ）{x |x=k π6
π±，k ∈Z} （B ）{x |x=k π3
π
±，k ∈Z}
（C ）{x |x=2k π6
π±，k ∈Z} （D ）{x |x=2k π3
π
±，k ∈Z}
4，方程sinx+cosx=2
6
，0<x<2π，则x 等于（ ）
（A ）
125π （B ）12π （C ）65π （D ）12
512π
π或 5，方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x 的一个解是（ ） （Ａ）100 （Ｂ）200 （Ｃ）500 （Ｄ）700
三、 填空题（每题８分，共２４分） ６，比较大小：arccos(31-) arcsin 5
3 ７，方程tg(2x+3
π)=
33
在区间［０，２π）上的解集是 ８，方程cos(2π
+x)=x )2
1(在区间［０，１００π）内实数解的个数是
四、 解答题（每题１３分，共２６分） ９，求值：cos(arcsin 5
3+2arctg2)
10，如图，有一块正方形钢板，一个角上有伤痕，要把它截成一块正方形钢板，面积是原钢板的3
2，应按怎样的角度x 来截？
a
五、 附加题：（10分）
11，写出方程4sin(x+3
π
)=1的解集，并求其在[0，2π]上所有解的和。
反三角函数与最简单的三角方程测验解答
一、××√×××√××× 二、选择题：ABADB
1， 由12
1
31≤-≤-x 得：13
1
≤≤-
x ；由
π≤-≤2
1
3a r c c o s 0x 得
2
213arccos 210π≤-≤x 。
2， 由ππ2<<x 得：0<x ππ<-, arcctg(ctgx)=arcctg[ctg(x )]π-=x π-。
3， ∴+=
,22cos 1cos 2x x 原方程可化为：cos2x=2
1
4， 原方程可化为：26)4sin(2=+πx ,即2
3
)4sin(=+πx ，3)1(4πππk k x -+=+,
即4
3)1(π
π
π-
-+=k
k x , k 取0，1即得。
5， 由等式得sin(4x+5x)=0，即: sin9x=0
三、填空题：
6， ),2()31arccos(ππ∈-而)2
,0(53arcsin π
∈
7，,6
333
2π
πππ
+=+=+k arctg
k x 即: 122ππ-=
k x , 当k=1时,x=,125π 当k=2时,x=
;1211π当k=3时, x=;1217π当k=4时, x=.12
23π
8, 由函数图象利用数形结合作判断选择，在同一个直角坐标系中，作出函数
y=cos(2π+x)=－sinx 和y=x )2
1
(的图象，由于y=－sinx 的最小正周期是2π，只要
先考察在一个周期（0，2π）内两曲线交点的个数（是2个），又100π÷2π=50，故这两曲线在（0，100π）内的交点个数为2⨯50=100个。
四、解答题
9, 设53arcsin =α，则];2
,0[,53sin π
αα∈= 2a r c t
g =β，则].2,0[,2π
ββ∈=tg 54
2
1222s i n ,5321212c o s ,54c o s 2
22=+⨯=-=+-==ββα, 原式=25
24
2sin sin 2cos cos )2cos(-=-=+βαβαβα
10, 如图，b 2=
32a 2, bsinx+bcosx=a, sinx+cosx=,2
3 ,2
3)4
s i n (2=
+πx 即
,23
)4sin(=+πx x 为锐角, ∴34ππ=+x 或324ππ=
+x , 因此应按12π或125π来截。
五、附加题
11, 由原方程可得：41)3
sin(=
+
π
x 则: 4
1arcsin )1(3k k x -+=+ππ, 4
1
arcsin
)1(3k k x -+-
=π
π )(Z k ∈
解集为:{x |x=Z k k k ∈-+-,41
arcsin )1(3ππ}
x[0, 2π], 0<arcsin 41<3
π
, ∴k=1,2 在[0, 2π]内有两解，其和为：
.3
7)41arcsin 35()41arcsin 32(21π
ππ=++-=+x x。