f10.5＋f20.5＝3，1 ， ≤f1 ≤4 0 c f1 d a,b c
主要目标法（约束法） §10.2 主要目标法（约束法）
考虑到各个目标的重要程度不一样，抓住主要目标，兼顾次要目标。 考虑到各个目标的重要程度不一样，抓住主要目标，兼顾次要目标。 即选择一个作为主要目标，其他目标只要满足一定要求即可， 即选择一个作为主要目标，其他目标只要满足一定要求即可，于是将其转 换成约束条件 min f1(x) x ∈ S1={x|f ’j≤fj≤f ”j, j= 2, 3,…,P, x ∈ S} 其中f ’j 和f ”j 分别为 j(x)的上下限。 分别为f 的上下限 的上下限。 其中
i =1
P
可以证明上述评价函数的最优解是原多目标问题的非劣解。 可以证明上述评价函数的最优解是原多目标问题的非劣解。 上述评价函数 h[f(x)] 相当于在解的欧氏空间中 [f1(x), f2(x),…fP(x)]T与 [f*1,f*2,…,f*P]T之间的距离。 之间的距离。 [f*1,f*2,…,f*P]T是一个理想点，一般不能达到，此法的出发点就在于找出一个 是一个理想点，一般不能达到， 与理想点距离最近的点，即让各个单目标尽可能地接近各自的理想值。 与理想点距离最近的点，即让各个单目标尽可能地接近各自的理想值。
(2) α－方法 － 先讨论P=2的简单情况。首先分别求解单目标问题 的简单情况。 先讨论 的简单情况 min fi(x) i=1,2 x ∈S 设最优解分别为x(1), 设最优解分别为 x(2), 令 = f1* = f2* f11=f1(x(1)) f21=f2(x(1)) f12=f1(x(2)) f22=f2(x(2)) 若x(1)＝x(2)，为原问题的绝对最优解 则问题已解决。 f 为原问题的绝对最优解, 则问题已解决。 2 否则, 否则 弧AB上的所有点均为非劣解 上的所有点均为非劣解 α－方法的作法是连接AB，平移直线得 * －方法的作法是连接 ，平移直线得x S
0 -1 -2 a a’ 1 b 2 x
例：试分析下列问题的非劣解： 试分析下列问题的非劣解： min f1=(x1－3)2 + (x2－3)2 min f2 =x1
2+
x2 g2=0 a p g1=0 d b 0 f2 3 x1 q
(x2
－3)2
s.t. g1=(x1－3)2 + (x2－3)2 －4≤0 g2=x12+ (x2 －3)2 －4≤0 分析：可行域为上图中 分析：可行域为上图中acbda包围的区域 包围的区域 可行域各点在解空间中的对应点如下图所示。 可行域各点在解空间中的对应点如下图所示。 显然，解空间中CD弧线上的解均为非劣解。 弧线上的解均为非劣解。 显然，解空间中 弧线上的解均为非劣解 在可行域中的直线cd上 在可行域中的直线 上，x2＝3， 1 ≤x1 ≤2， ， ， f1=(x1－3)2， f2=x12， 所以在解空间中曲线cd的表达式为： 所以在解空间中曲线 的表达式为： 的表达式为 f10.5＋f20.5＝3 ，1 ≤f1 ≤4 所以，非劣解在可行域及解空间的关系式分别为 所以，非劣解在可行域及解空间的关系式分别为: 1 ≤x1 ≤2 ， x2＝3
fi (x(1)) < fi (x(2)), i=1,2,…,p （2）符号 “ ≤ ”: ） f(x(1)) ≤ f(x(2)) 表示
fi (x(1)) ≤ fi (x(2)), i=1,2,…,p且至少有一个 0 ( 1 ≤ i0 ≤p)，成立 i0(x(1)) < fi0(x(2)) 且至少有一个i 且至少有一个 ，成立f （3）符号 “ ≦ ”: ） f(x(1)) ≦ f(x(2)) 表示 可以是全等于
§10.3.2 线性权和法
此法简单易行，计算量少，是个常用方法。 此法简单易行，计算量少，是个常用方法。 （一）基本思想 构造评价函数
h[f(x)] = ∑ωif i (x)
i =1
P
其中常数ω 称为加权因子， 的相对重要程度， 其中常数 i称为加权因子，取值大小取决于目标 fi 的相对重要程度，要求 ωi≥先构造称为评价函数的新目标函数, 然后求解单目标问题： 首先构造称为评价函数的新目标函数 然后求解单目标问题： min h[f(x)] x∈S 用上述问题的最优解作为原多目标问题的近似最优解。 用上述问题的最优解作为原多目标问题的近似最优解。 关键是如何构造评价函数. 关键是如何构造评价函数
4 5 3 f1 7 f2 1 6 8 2
在图中，除解 、 、 之外 其它的解都可找到另一个比它更优。 之外， 在图中，除解3、4、5之外，其它的解都可找到另一个比它更优。 对解3、 、 而言 它们之间无法比较优劣， 而言， 对解 、4、5而言，它们之间无法比较优劣，而且也没有别的解比它们更 种解在多目标优化问题中有特殊意义。 优，这 种解在多目标优化问题中有特殊意义。
V表示求向量函数的最优 表示求向量函数的最优
§10.1 多目标最优化问题的解
多目标问题与单目标问题的一个重要区别： 多目标问题与单目标问题的一个重要区别：单目标问题的任意两个解都 是可以比较其优劣的，但对多目标问题就不一定能进行优劣性的比较。 是可以比较其优劣的，但对多目标问题就不一定能进行优劣性的比较。 例如对如下的优化问题： 例如对如下的优化问题： min f1(x) min f2(x) s.t. x≥0 在解空间中存在如图所示的8个解 在解空间中存在如图所示的 个解
§10.3.1 理想点法
先分别求解各个单目标问题， 先分别求解各个单目标问题，得
f *= min f i (x), i = 1,2,......, P i
x∈S
然后构造评价函数
每个目标函数值都尽可 能接近各自的最小值 单目标问题最优值） （单目标问题最优值）
min h[f(x)] = [∑ [f i (x) − f *]2 ]1/2 i
则称x 为多目标问题的弱非劣解 弱有效解 弱有效解) 则称 *为多目标问题的弱非劣解 (弱有效解 。 即在“ 意义下， 即在“ < ”意义下，找不到更好的解。 意义下 找不到更好的解。
3和4是非劣解 和 是非劣解 3、4和5是弱非劣解 、 和 是弱非劣解
分析下列问题的非劣解： 例10.1.3 分析下列问题的非劣解： min f1(x)=x2－2x min f2(x)=－x － st 0≤x≤2 单目标函数的最优解分别为 x1* =1, x2* =2, 但多目标问题无绝对最优解。 但多目标问题无绝对最优解。 x∈[0,1)时不可能是非劣解 对任意的x∈[1,2]都是非劣解 时不可能是非劣解, 都是非劣解,。 当x∈[0,1)时不可能是非劣解, 对任意的x∈[1,2]都是非劣解,。 对多目标问题，最好是找出绝对最优解， ● 对多目标问题，最好是找出绝对最优解，但大部分问题不存在绝对最优 通常是求出非劣解。 解， 通常是求出非劣解。 多目标问题的非劣解往往很多，甚至是无穷个， ● 多目标问题的非劣解往往很多，甚至是无穷个，而最终付诸实施的一般 一个。 所以存在决策采用哪个非劣解的问题。 只有 一个。 所以存在决策采用哪个非劣解的问题。 多目标问题的整个求解过程分为分析与决策两个部分， ● 多目标问题的整个求解过程分为分析与决策两个部分，找出非劣解的人 为分析者，最终决定采用哪个非劣解的人为决策者。两者需配合。 为分析者，最终决定采用哪个非劣解的人为决策者。两者需配合。
f11 f1(x*) f12
f1
代入评价函数，并求解得 代入评价函数，并求解得x*
对于一般具有p 个目标函数的情形，可用类似的步骤求出ω 对于一般具有 (p≥2) 个目标函数的情形，可用类似的步骤求出 i，i=1,2,…p ① 求p个单目标问题 个单目标问题 min fi(x) i=1,2,…,p x ∈S 得最优解x 得最优解 (i), 令 fj(i)=fj(x(i)), i=1,2,…p; j=1,2,…,p 个点[f ②设经过p个点 1(i), f2(i), … , fp(i)]T , i=1,2,…p的超平面方程为 设经过 个点 的超平面方程为
－4 0 4 f2 f1 x
f1
f2 x
－4
0
4
先引入三个不等式符号： 先引入三个不等式符号： 设 f(x(1)) =[f1(x(1)), f2(x(1)), …, fp(x(1))]T , （1）符号 “ < ”: ） f(x(1)) < f(x(2)) 表示 f(x(2)) =[f1(x(2)), f2(x(2)), …, fp(x(2))]T 每个分量都严格小于 至少有一个分量严格小于
ω1 f 1 + ω 2 f 2 = β
映射
ω1 + ω 2 = 1
f21 f2(x*) f22
A
f(S) B
代入， 将[f11, f21]和[f12, f22]代入，可解得 和 代入
ω1 = ( f 21 − f 22 ) /[( f12 − f11 ) + ( f 21 − f 22 )] ω 2 = ( f12 − f11 ) /[( f12 − f11 ) + ( f 21 − f 22 )]
定义： 定义：设x* ∈ S，若对任意的 ∈S及 i=1,2,…,P，都成立 i(x*)≤fi(x)，则称 * ，若对任意的x 及 ，都成立f ，则称x 问题的绝对最优解 绝对最优解。 为多目标 问题的绝对最优解。 例如 min f1=x2 min f2=x2+4 s.t. －4≤x≤4 绝对最优解x 绝对最优解 *=0 又如 min f1=x2 min f2=(x－2)2 － s.t. －4≤x≤4 不存在绝对最优解 可见，在研究多目标优化问题时，需要引入其它意义的解。 可见，在研究多目标优化问题时，需要引入其它意义的解。
∑ω
i =1
P
i
=1
可以证明上述评价函数的最优解是原多目标问题的非劣解或弱非劣解。 可以证明上述评价函数的最优解是原多目标问题的非劣解或弱非劣解。 相对重要程度的ω 此法的关键在于如何找到能反映 fi 相对重要程度的 i (二) 加权因子的选取 二 (1) 老手法 请有关方面的专家、有经验的工人或干部（老手） 请有关方面的专家、有经验的工人或干部（老手）对加权因子的选取各自独 立打分， 立打分，然后计算每个加权因子的平均值以及每个专家对该因子的打分与平 均值的偏差，请偏差较大的专家发表意见，充分讨论修改后再最后确定。 均值的偏差，请偏差较大的专家发表意见，充分讨论修改后再最后确定。