5.1 设消费函数为i i i i u X X Y +++=33221βββ式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；i u 为随机误差项，并且222)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2σ为常数）。

试解答以下问题：(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

练习题5.1参考解答：（1）因为22()i i f X X =，所以取221i iW X =，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i iii i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=--()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆii i i i i i i i i i i ii ii i iW y x W x W y x W x x WxWxWx xβ-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii i i i i i i i i i i i i i i i i W y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,i ii ii iiiiW X W X W Y XXYWWW===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y =-=-=-5.2 下表是消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题：（1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式；（2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。

表5.8 某地区消费Y 与收入X 的数据(单位：亿元)练习题5.2参考解答：（1）该模型样本回归估计式的书写形式为22ˆ9.347522+0.637069t= (2.569104) (32.00881)R =0.946423 R =0.945500 F=1024.564 DW=1.790431i iY X =（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。

将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。

分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即2122603.01482495.840e e==∑∑求F 统计量为22212495.844.1390603.0148e F e===∑∑给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。

c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。

其次，用White 法进行检验。

具体结果见下表White Heteroskedasticity Test:Test Equation:Dependent Variable: RESID^2 Method: Least SquaresDate: 08/05/05 Time: 12:37 Sample: 1 60Included observations: 60X 0.165977 1.619856 0.102464 0.9187 X^2 0.001800 0.004587 0.3924690.6962 Adjusted R-squared 0.152332 S.D. dependent var 111.1375 S.E. of regression 102.3231 Akaike info criterion 12.14285 Sum squared resid 596790.5 Schwarz criterion 12.24757 Log likelihood -361.2856 F-statistic 6.301373 给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得25.9915χ=。

比较临界值与卡方统计量值，即2210.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。

（2）用权数11W X=，作加权最小二乘估计，得如下结果Dependent Variable: Y Method: Least SquaresDate: 08/05/05 Time: 13:17 Sample: 1 60Included observations: 60 Weighting series: W1Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.X 0.630950 0.018532 34.046670.0000Weighted StatisticsAdjusted R-squared 0.197845 S.D. dependent var 8.685376 S.E. of regression 7.778892 Akaike info criterion 6.973470 Sum squared resid 3509.647 Schwarz criterion 7.043282 Log likelihood -207.2041 F-statistic 1159.176 Durbin-Watson stat 0.958467 Prob(F-statistic) 0.000000Adjusted R-squared 0.945410 S.D. dependent var 38.68984 S.E. of regression 9.039689 Sum squared resid 4739.526Durbin-Watson stat 0.800564用White 法进行检验得如下结果：White Heteroskedasticity Test: F-statistic 3.138491 Probability 0.050925 给定，在自由度为2下查卡方分布表，得25.9915χ=。

比较临界值与卡方统计量值，即225.951910< 5.9915nR χ==，说明加权后的模型中的随机误差项不存在异方差。

其估计的书写形式为22ˆ10.37050.6309(3.943587) (34.04667)R 0.211441 R =0.197845 DW=0.958467 F=1159.176YX t =+==5.3 下表是2007年我国各地区农村居民家庭人均纯收入与家庭人均生活消费支出的数据表5.9 各地区农村居民家庭人均纯收入与家庭人均生活消费支出的数据(单位：元)（1）试根据上述数据建立2007年我国农村居民家庭人均消费支出对人均纯收入的线性回归模型。

（2）选用适当方法检验模型是否在异方差，并说明存在异方差的理由。

（3）如果存在异方差，用适当方法加以修正。

练习题5.3参考解答：解： （1）建立样本回归函数。

ˆ179.1916+0.7195YX = （0.808709）（15.74411） 20.895260, F=247.8769R =（2）利用White 方法检验异方差，则White 检验结果见下表：Heteroskedasticity Test: WhiteF-statistic7.194463 Prob. F(2,28)0.0030 Obs*R-squared 10.52295 Prob. Chi-Square(2) 0.0052 Scaled explained SS30.08105 Prob. Chi-Square(2)0.0000由上述结果可知，该模型存在异方差。

分析该模型存在异方差的理由是，从数据可以看出，一是截面数据；二是各省市经济发展不平衡，使得一些省市农村居民收入高出其它省市很多，如上海市、北京市、天津市和浙江省等。

而有的省就很低，如甘肃省、贵州省、云南省和陕西省等。

（3）用加权最小二乘法修正异方差，分别选择权数2111,23w w w X X ===，经过试算，认为用权数3w 的效果最好。

结果如下：书写结果为2ˆ787.28470.5615(4.5325)(10.0747)0.9461,101.4992YX R F =+==5.4 下表是某一地区31年中个人储蓄和个人收入数据资料 表5.10 个人储蓄和个人收入数据(单位：元)时期 储蓄额（Y ） 收入额（X ）时期储蓄额（Y ） 收入额（X ）1 264 8777 17 1578 241272 105 9210 18 1654 256043 90 9954 19 1400 26500 4 131 10508 20 1829 276705 122 10979 21 2200 283006 107 11912 22 2017 27430 7 406 12747 23 2105 295608 503 13499 24 1600 28150 9 431 14269 25 2250 32100 10 588 15522 26 2420 32500 11 898 16730 27 2570 35250 12 950 17663 28 1720 33500 13 779 18575 29 1900 36000 14 819 19635 30 2100 36200 15 1222 21163 3123003820016170222880（1）建立一元回归函数，判断有无异方差存在，并说明存在异方差的原因。

（2）用适当方法修正异方差。

练习题5.4参考解答：（1）建立样本回归函数。

ˆ-648.1236+0.0847YX = （-5.485018）（17.34164） 20.912050, F=300.7324R =从估计的结果看，各项检验指标均显著。

但由于收入通常存在不同的差异，因此需要判断模型是否存在异方差。

首先，用图形法。

从残差平方对解释变量散点图可以看出（见下图），模型很可能存在异方差。

其次，用运用Goldfeld －Quanadt 检验异方差。

第一，对变量X 取值以升序排序。

第二，构造子样本。

由于本例的样本容量为31，删除1/4观测值，约7个，余下部分分得两个样本区间：1—12和20—31,它们的样本个数均是12个。