定理3-4.1
设R是X上的二元关系，那么 a) R是自反的，当且仅当r(R)=R b) R是对称的，当且仅当s(R)=R c) R是传递的，当且仅当t(R)=R
该定理表明： 关系R是自反的，则r(R)=R 关系R是对称的，则s(R)=R 关系R是传递的，则t(R)=R
二、求闭包的方法
1. 求自反闭包
t ( R) R i R R 2 R 3
i 1
证明：I 首先证明 R i t ( R)
i 1
思路：可用数学规纳法证明Ri (i≥1)都包含于t(R)。 显然，由t(R)的定义可知Rt(R)，设Rit(R) (i≥1)， 以下证明Ri+1t(R)
因为Ri+1=RiR，则对任意序偶<a,b>∈Ri+1，有
Warshall 1962年提出计算R+的有效算法， 不仅适用于程序计算，而且对手工运算同样简便。
Warshall算法如下：
(1)置新矩阵A:=M
(2)置k=1,2,…,n
A[j,k]:=a[j,k]+a[i,k]
(4)i:=i+1
(5)如果i≤n，则转到步骤(3)，否则停止。
3-5 集合的划分和覆盖
定义3-5.1 若把一个集合A分成若干个叫做分 块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个 分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的 一个覆盖。如果A中每个元素属于且仅属于一个 分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的 一个划分（或分划）。
几个概念
最大划分：分块数=元素个数
(1)关系集合求r(R)：r(R)=R∪Ix
(2)关系矩阵求r(R)：主对角线元素全部置1
(3)关系图求r(R)：所有无自环的顶点加上自环
2.求对称闭包 (1)关系集合求s(R)：s(R)=R∪Rc (2)关系矩阵求s(R)：MR∨MRc (3)关系图求s(R)：所有单向弧变成一对双向弧
3.求传递闭包 (1)关系集合求t(R) 定理3-4.2 设R是X上的二元关系，则
3-4
一、闭包定义
关系的闭包运算
定义：设R是X上的二元关系，如果有另一个关系R'满 足:
a)R'是自反的(对称的，可传递的) b) R'R c)对于任何自反的(对称的，可传递的)关系R"，如果 有R"R，就有R"R',则称R'为R的自反(对称，传递) 闭包，记作：r(R)，（s( R )，t( R )） 上述定义表明：R的自反(对称,传递)闭包是包含关系 R的最小的一个自反(对称，传递)关系。
最小划分：仅一个分块
交叉划分:若{A1,A2,…,Ar}与{B1,B2,…,Bs}是 同一个集合的两种划分,则其中所有的Ai∩Bj 组成的集合（即由交集组成的集合）,称为原来 两种划分的交叉划分
加细:如果1={A1，A2，…，Ar}，2={A1， A2，…，As}均为A的划分，若对Ai1， Bj2，有AiBj则称1为2的细分（加细）
(3)关系图求t(R) 依次试验每一条弧是否满足传 递性，不满足则添加弧，使之传递，直到所有弧 （包括新添加的弧）都满足传递性时停止。 例：求下面关系图的传递闭包.
a
b
c
d
图中黑色弧为原始图，紫色和蓝色为添加的弧
闭包运算的复合
定理3-4.4
设R是X上的二元关系，则
a) rs(R)=sr(R) b) rt(R)=tr(R) c) ts(R) st(R)
x∈X，使得<a,x>∈Ri且<x,b>∈R，
又Rit(R)且Rt(R)，
故<a,x>∈t(R)且<x,b>∈t(R)，t(R)传递，推出
<a,b>∈t(R)，即Ri+1t( R)。

II
i t ( R ) R 再证明 i 1
通常，将
i 1
R

i
记为R+。
对R+中的任意序偶<x,y>和<y,z>，则必然存在 整数s，t，使得<x,y>∈Rs，<y,z>∈Rt，这样就有 <x,z>∈RsRt， RsRt=Rs+t，而Rs+tR+，因此 <x,z>∈R+，故R+是传递的。 又因为包含R的可传递关系都包含t(R)，故
t ( R) R i
i 1
证毕。
定理3-4.3 设X是含有n个元素的集合，R是X上 的二元关系，则存在一个正整数k≤n，使得 t(R)=RR2 R3 … Rk 这一定理说明，当R为有限可数集合X上的 二元关系时，求t(R)最多只需计算R2到Rn。 (2)关系矩阵求t(R)