相遇追及问题一、考点、热点回顾一、追及问题1.速度小者追速度大者类型图象说明匀加速追匀速①t＝t０以前，后面物体与前面物体间距离增大②t=ｔ0时，两物体相距最远为x0+Δx③t=t０以后,后面物体与前面物体间距离减小匀速追匀减速④能追及且只能相遇一次匀加速追匀减速2.速度大者追速度小者度大者追速度小者匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即ｔ=t0时刻：①若Δx=x0，则恰能追及,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件匀速追匀加速②若Δx<x０,则不能追及，此时两物体最小距离为x0－Δx③若Δx＞x0,则相遇两次，设t1时刻Δx１=ｘ0,两物体第一次相遇，则ｔ2时刻两物体第二次相遇匀减速追匀加速①表中的Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；②x0是开始追及以前两物体之间的距离;③t2-t0=t０-t1;④v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度.二、相遇问题这一类:同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题.第二类：相向运动的物体，当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时，还要注意该物体是否停止运动了．求解追及问题的分析思路(１)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系．（2)通过对运动过程的分析,画出简单的图示,找出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．(３)寻找问题中隐含的临界条件.例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等.利用这些临界条件常能简化解题过程.（4）求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．相遇问题相遇问题的分析思路:相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同．（1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系． (２)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系． （3）寻找问题中隐含的临界条件．(4)与追及中的解题方法相同.二、典型例题【例1】物体A 、B 同时从同一地点，沿同一方向运动，Ａ以1０m/ｓ的速度匀速前进，B 以2ｍ/s ２的加速度从静止开始做匀加速直线运动,求A 、B 再次相遇前两物体间的最大距离. 【解析一】 物理分析法Ａ做 υA =10 m ／s 的匀速直线运动,B 做初速度为零、加速度a =２ ｍ/ｓ2的匀加速直线运动.根据题意，开始一小段时间内,Ａ的速度大于B 的速度，它们间的距离逐渐变大，当B 的速度加速到大于A 的速度后,它们间的距离又逐渐变小；A 、B 间距离有最大值的临界条件是υA ＝υＢ. ① 设两物体经历时间t 相距最远,则υA =a ｔ ② 把已知数据代入①②两式联立得t ＝5 s 在时间t 内,Ａ、B 两物体前进的距离分别为 s A =υA t =１0×５ ｍ＝50 ｍs Ｂ=12at 2＝＼ｆ(1,2)×2×52ｍ=25 mA 、B 再次相遇前两物体间的最大距离为 Δｓm ＝s A -ｓB ＝5０ ｍ－２5 m=25 m 【解析二】 相对运动法因为本题求解的是Ａ、B 间的最大距离,所以可利用相对运动求解.选B 为参考系,则Ａ相对Ｂ的初速度、末速度、加速度分别是υ０=１0 m ／s 、υｔ＝υA －υB =0、ａ＝-2 ｍ／s 2． 根据υｔ2－υ0=2ａｓ．有0-102=２×(-2）×s A Ｂ 解得A 、B 间的最大距离为s AB ＝2５ ｍ． 【解析三】 极值法物体Ａ、Ｂ的位移随时间变化规律分别是ｓＡ＝10t ，s B =12at 2＝12×2×t 2 =ｔ5．则Ａ、Ｂ间的距离Δs =10t －ｔ2,可见,Δs 有最大值，且最大值为错误! 【解析四】 图象法根据题意作出A 、B 两物体的υ－t 图象,如图1-5-1所示．由图可知,A 、Ｂ再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υＡ＝υＢ，得t １＝5 s ． A 、B 间距离的最大值数值上等于ΔＯυA P 的面积，即Δｓm =＼f(1,２）×5×10 ｍ＝25 m. 【答案】25 m【点拨】相遇问题的常用方法（1)物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,按(解法一)中的思路分析．(2）相对运动法：巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系.（3）极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若△>0,即有两个解，说明可以相遇两次;若△＝０,说明刚好追上或相碰;若△＜0,说明追不上或不能相碰.(4）图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解．拓展如图1-５-２所示是甲、乙两物体从同一地点,沿同一方向做直线运动的υ-t图象，由图象可以看出（〕A．这两个物体两次相遇的时刻分别是１ｓ末和4ｓ末B.这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末C.两物体相距最远的时刻是２s末D.4ｓ末以后甲在乙的前面【解析】从图象可知两图线相交点1s末和4s末是两物速度相等时刻,从0→２ｓ，乙追赶甲到2s末追上,从2s开始是甲去追乙，在４s末两物相距最远,到6s末追上乙.故选B. 【答案】B【实战演练1】(201１·新课标全国卷）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。
在第一段时间间隔内,两辆汽车的加速度大小不变,汽车乙的加速度大小是甲的两倍;在接下来的相同时间间隔内,汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。
求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程,再根据两车加速度的关系，求出两车路程之比。
【精讲精析】设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻t0）的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1,加速度为ａ，在第二段时间间隔内行驶的路程为s2,由运动学公式有,ｖ=a t0①s1＝＼F(１,2) a t02②ｓ2=v t0＋错误!2a t02③设汽车乙在时刻ｔ０的速度为v′,在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为ｓ1′、ｓ2′，同理有,ｖ′=2a ｔ0④ｓ１′=错误!2a t０2⑤s２′=ｖ′ ｔ０+错误!ａ t02⑥设甲、乙两车行驶的总路程分别为ｓ、s′,则有ｓ= s１＋s2 ⑦s′=s1′+ｓ2′⑧联立以上各式解得,甲、乙两车各自行驶路程之比为错误!＝错误!答案:57【实战演练２】(20１1·安徽省级示范高中名校联考）甲、乙两辆汽车,同时在一条平直的公路上自西向东运动,开始时刻两车平齐,相对于地面的v －ｔ图象如图所示,关于它们的运动，下列说法正确的是( )A ．甲车中的乘客说，乙车先以速度v 0向西做匀减速运动,后向东做匀加速运动B ．乙车中的乘客说，甲车先以速度v 0向西做匀减速运动,后做匀加速运动C ．根据v -t 图象可知,开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到ｖ0时，两车恰好平齐Ｄ．根据v －t 图象可知，开始甲车在前,乙车在后,两车距离先增大后减小,当乙车速度增大到v 0时，两车恰好平齐【答案】A【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系,相当于甲车静止不动，乙车以初速度v ０向西做减速运动，速度减为零之后,再向东做加速运动，所以Ａ正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度v ０向东做减速运动，速度减为零之后,再向西做加速运动，所以B 错误;以地面为参考系,当两车速度相等时，距离最远,所以C 、Ｄ错误.考点2 相遇问题相遇问题的分析思路:相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.(1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系. （2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系． (3)寻找问题中隐含的临界条件． (4)与追及中的解题方法相同.【例２】甲、乙两物体相距s ，同时同向沿同一直线运动,甲在前面做初速度为零、加速度为a 1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为υ0，加速度为ａ２的匀加速直线运动，则 ( ） Ａ.若a 1＝a 2,则两物体可能相遇一次 B ．若ａ1＞a 2,则两物体可能相遇二次 C.若a 1<a 2,则两物体可能相遇二次Ｄ．若ａ１＞a 2,则两物体也可相遇一次或不相遇【解析】 设乙追上甲的时间为t ,追上时它们的位移有υ0ｔ＋1２a 2t 2-＼ｆ(1,２)a 2t 2=ｓ图1-5-3 上式化简得:(ａ１-ａ２)ｔ2－2υ0t +2s ＝０ 解得:错误!(1)当a 1＞ａ2时,差别式“△”的值由υ0、a 1、a 2、s 共同决定，且△＜2υ0,而△的值可能小于零、等于零、大于零，则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次,所以选项B 、D 正确．(2)当a 1<a 2时，t 的表达式可表示为错误!显然,△一定大于零.且＼r(△)＞2υ0,所以t 有两解.但t 不能为负值,只有一解有物理意义，只能相遇一次,故C 选项错误.(３）当a 1＝a 2时,解一元一次方程得t =s /υ0，一定相遇一次，故A 选项正确. 【答案】Ａ、B 、D【点拨】注意灵活运用数学方法，如二元一次方程△判别式．本题还可以用v —t 图像分析求解。
拓展A 、B 两棒均长1ｍ，A 棒悬挂于天花板上，B 棒与A 棒在一条竖直线上，直立在地面,A 棒的下端与B 棒的上端之间相距20m ，如图1-5-3所示，某时刻烧断悬挂Ａ棒 的绳子,同时将B 棒以v 0=２0m/s 的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计,且g ＝10m/s 2,试求：（１)A 、B 两棒出发后何时相遇?(2)A 、B 两棒相遇后，交错而过需用多少时间?【解析】本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。
由于Ａ、B 两棒均只受重力作用,则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们之间只有初速度导致的相对运动，故选A 棒为参考系，则Ｂ棒相对A 棒作速度为v 0的匀速运动。
则A 、B 两棒从启动至相遇需时间s s v L t 1202001===当Ａ、B 两棒相遇后,交错而过需时间 s s v l t 1.0202202===【答案】(１) 1s (2) ０．1s【例３】(易错题)经检测汽车A 的制动性能：以标准速度2０ｍ/s 在平直公路上行驶时,制动后40s 停下来。