中考数学三轮易错复习：专题15最短路径问题【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=12x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.（1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为；（2）已知点Q在反比例函数y=kx的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长最小，求出点M的坐标.【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA ＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．图1 图2强化精炼：1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．图1 图22.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．3.（2017·预测卷）已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数y 图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）求当AO′最短和最长时A′点的坐标．4.（2017·郑州一模）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ 切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A B C．2 D．35.（2019·许昌月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．6.（2019·郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1,0)，C(0,3).(1)求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值.7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求抛物线的解析式；（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；（3）设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．9. （2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2-与x轴交于A，C （A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.10.（2019·三门峡一模）反比例函数kyx=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A(1，3)，B(3，m)．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．参考答案【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=12x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.（1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为；（2）已知点Q在反比例函数y=kx的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长最小，求出点M的坐标.【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由S△ABP=12·AB·BP=9，设P点坐标为（m，12m+2），代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q’（P’），连接PQ’（QP’）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ’（QP’的解析式）.【解析】解：（1）在y=12x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=－4，∴A点坐标为（－4,0），C点坐标为（0,2），设P点坐标为（m，12m+2），m>0，则AB=m+4，BP=12m+2,∵S△ABP=12·AB·BP=9，即12×（m+4）（12m+2）=9，解得：m=2或m=－10（舍），∴点P的坐标为（2,3）；（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q’，连接PQ’交x轴于点M，此时，△PQM的周长最小，，－1），设直线PQ’的解析式为：y=mx+b，得：2361m bm b+=⎧⎨+=-⎩，解得：15mb=-⎧⎨=⎩，即直线PQ’的解析式为：y=－x+5，当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0），∴当△PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+ 12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴20 4220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a=﹣1，b=1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）直线y=mx+12交抛物线与A、Q两点，将A（﹣1，0）代入得：m=12，∴直线AQ的解析式为y=12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN=﹣n2+n+2﹣（12n+12）=﹣n2+12n+32，NF=12n+12，∵PN=2NF，即﹣n2+12n+32=2×（12n+12），解得：n=﹣1或12．当n=﹣1时，点P与点A重合，舍去．故点P的坐标为（12，94）．（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．∵A、C关于直线DE对称，∴连接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，△CMG的周长最小，设直线AM的函数解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），M（12，94）代入并解得：k=32，b=32，∴直线AM的函数解析式为y=32x+32，∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=﹣12x+34．将y=﹣12x+34与y=32x+32联立，解得：x=﹣38，y=1516．∴在直线DE上存在点G，使△CMG的周长最小，G（﹣38，1516）．【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA ＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝∴△BDE的周长最小值为：强化精炼：1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．图1 图2【答案】（1）y=﹣x2+3x+4，（﹣1，0）；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），∴-16a+4b+c=0，c=4，解得:b=3，c=4，∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4，当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x=﹣1，x=4，即C（﹣1，0）；答案为：y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；（2）∵△AQP∽△AOC，∴AQ AOPQ CO=4，即AQ=4PQ，设P（m，﹣m2+3m+4），则PQ=|4﹣（﹣m2+3m+4|=|m2﹣3m|，∴4|m2﹣3m|=m，解得：m1=0（舍去），m2=134，m3=114，∴P点坐标为（134，5116）或（114，7516）.（3）设P（m，﹣m2+3m+4），∵抛物线对称轴为：x=32，∴m＞32，①当点Q′落在x轴上时，延长QP交x轴于H，则PQ =m 2﹣3m ，由折叠性质知：∠AQ ′P =∠AQP =90°，AQ ′=AQ =m ，PQ ′=PQ =m 2﹣3m ， ∵∠AQ ′O =∠Q ′PH ， ∴△AOQ ′∽△Q ′HP ， ∴'''OA AQ Q B PQ =， 即24'3m Q B m m=-，得：Q ′B =4m ﹣12， ∴OQ ′=12﹣3m ，在Rt △AOQ ′中，由勾股定理得：42+（12﹣3m ）2=m 2， 解得：m 1=4，m 2=5，即P 点坐标为（4，0），（5，﹣6）； ②当点Q ′落在y 轴上，此时以点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ =PQ ′， 即|m 2﹣3m |=m ，得m 1=0（舍去），m 2=4，m 3=2， P 点坐标为（4，0），（2，6）， 综上所述，点P 的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）.2.（2019·中原名校大联考）如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，C 两点，已知点D 的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M ，N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴∠OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，∴CD″∥x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).3.（2017·预测卷）已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数123y=图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）求当AO′最短和最长时A′点的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数123y=图象上一点，∴m=23；（2）当AO′最短时A′点的坐标（2+65，85），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣65，﹣85）．①当点O′在线段AB上时，AO′最短，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，∵O′N∥OA，∴''BN O N O B OB OA AB==，即'2425 BN O N==∴BN O ′N 由∠A ′MO ′=∠A ′O ′B =∠O ′NB =90°，得：∠MA ′O ′=∠NO ′B ， ∴△A ′MO ′∽△O ′NB ， ∴''2'A M O M O N BN==，∴A ′M ，O ′M ，即A ’（）；②当点O ′在线段AB 延长线上时，AO ′最长，同理可得：（2－5，－5）． 4.（2017·郑州一模）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）ABC ．2D ．3【答案】A ．【解析】解：由垂线段最短知，当OP ⊥l 时，OP 取最小值，而由PQ PQ 取最小值，过点O 作OP ⊥l 于P ，过P 作⊙O 的切线PQ ，切点为Q ，连接OQ ，则OP =3，OQ =2， ∵PQ 切⊙O 于点Q ， ∴∠OQP =90°，由勾股定理得：PQ即PQ故答案为：A．5.（2019·许昌月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．【答案】 2.【解析】解：（1）BC为腰，且∠PCB为顶角时，以C为圆心，以BC为半径画弧，点P在弧上，由题意知，点P在菱形外或与A、D重合，不符合题意；（2）以BC为腰，且∠PBC为顶角时，点P在以B为圆心，以AB为半径的圆上，则PD的最小值为：BD－BC BC－BC2；（3）BC为底时，则点P在线段BC的垂直平分线上，由垂线段最短知，PD最小为：1+1=2；∵﹣2<2，∴PD的最小值为： 2.6.（2019·郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1,0)，C(0,3).(1)求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0)，C (0,3)代入y =-x 2+bx +c 得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）首先构造出12MB ，将AB 绕点B 顺时针旋转30°，交y 轴于H ，过M 作MG ⊥BH 于G ，则MG =12MB ，CN +MN +12MB 的最小值即CN +MN +MG 的最小值，由图可知，当C 、N 、M 、G 共线，且CG ⊥BH 时，取得最小值， 即∠HCG =30°， ∵OB =3，∠ABH =30°，∴AH H （0），∴CH∴CG =CH ·cos 30°=32，即CN +MN +12MB .7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值；（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的解析式为：y ＝kx +n ，将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝kx +n ，得： k +n =0，-2k +n =3，解得：k =-1，n =1， 即直线AC 的解析式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PF ∥y 轴交直线AC 于点F ，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），则点F （x ，﹣x +1），（﹣2＜x ＜1） ∴PF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∴S △APC ＝12(x A －x C )•PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278．∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得：抛物线的对称轴为x＝﹣1．∴点C，N关于抛物线的对称轴对称，设直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，此时△ANM周长有最小值．由勾股定理得：AC＝AN∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝∴△ANM周长的最小值为8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求抛物线的解析式；（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；（3）设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C (0，3)，E (2，3)．将C (0，3)，E (2，3)代入y＝－x2＋bx＋c得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)在y＝－x2＋2x＋3中，当y＝0时，x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵AO＝1，CO＝3，∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴FM＝BF＝1，∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF，∴RO AOMF AF=，得RO＝13，∴CR＝OC－OR＝3－13＝83，AR，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR（3）取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′，当P在P′处时，AP＋PH＋HG最小，A′(1，0)，设直线A′G的解析式为：y＝kx＋m，将G(4，－5)，A′(1，0)代入得：k =53-，b =53， ∴直线A ′G 的解析式为：y ＝53-x ＋53. 当x ＝2时，y ＝53-， 即点H 的坐标为(2，53-)， ∴符合题意的点P 的坐标为(0，53-)． 9. （2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2-与x 轴交于A ，C （A 在C 的左侧），点B 在抛物线上，其横坐标为1，连接BC ，BO ，点F 为OB 中点．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若点D 为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD ，CD ，点E 为x 轴上一动点，当△BCD 的面积的最大时，求点D 的坐标，及|FE ﹣DE |的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y2-中，当y ＝0，解得：x 1＝32，x 2＝72， ∴A （32，0），C （72，0） 当x ＝1时，y ＝即B （1，），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b得：702k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线BC 的解析式为y ＝x .（2）设点D （m 2-），则点H （m ，m ）过点D 作DH ⊥x 轴交BC 于点H ，HD ＝m 2-+）＝29542m ⎫--+⎪⎝⎭，S △BCD =12×DH ×（x C －x B ） =54DH ，∴当m ＝94时，HD 取最大值，此时S △BCD 的面积取最大值．此时D （94，﹣2）.作D 关于x 轴的对称点D ′则D ′（94，连接D ′H 交x 轴于一点E ，此时|D ′E ﹣FE |最大，最大值为D ′F 的长度，∵F （12）∴D ′F ，即|FE ﹣DE |．10.（2019·三门峡一模）反比例函数ky x =（k 为常数，且k ≠0）的图象经过点A (1，3)，B (3，m )．（1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A(1，3)代入kyx=得：k=3，即反比例函数解析式为：3yx=，将点B(3，m)代入3yx=得：m=1，即B(3，1).（2）作点A关于x轴的对称点A’(1，－3)，连接A’B交x轴于点P，此时P A+PB最小，如图所示，设直线A’B的解析式为：y=kx+b，∴331k bk b+=-⎧⎨+=⎩，解得：25kb=⎧⎨=-⎩，即直线A’B的解析式为：y=2x－5，当y=0时，x=52，即P(52，0).。