第四节、指数函数
一、初中根式的概念；
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。
． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
思考：n n a =a 一定成立吗？
结论：当n 是奇数时，a a n n =
当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()0(||a a a a a a n n
例1、（1）=-+125.0833-4
1633
（2）7722)(2y x y xy x -+
+-=
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义 规定：
)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m
)1,,,0(11
*>∈>==-n N n m a a a a n m n m
n m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）r a ·s r r a a +=
),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；
（3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．
无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。
例2、化简（1）=÷•----32
11321
32)(a b b a b a b a
（2）=•÷•363342b ab a
例3、已知函数）（R a x x a x f x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧<≥•=-,0
,20,2)(,若,1)]1([=-f f 则a=（ ）
例4、已知==x x -2102510，则（ ）
二、指数函数及其性质
（一）指数函数的概念
一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。
注意：（1）指数函数x a y =中x a 的系数为1；
（2）底数a 是大于0且不等于1的常数。
（3）指数就是自变量x ，是变量。
例5、函数x a a a y )232(2+-=为指数函数，求a 的取值范围。
（二）指数函数的图象和性质
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）x )
31(y = （2）x )2
1(y = （3）x 2y =
（4）x 3y =
（5）x 5y =
2．从画出的图象中你能发现函数
x 2y =的图象和函数x )2
1(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象画出x )2
1(y =的图象？ 3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
总结：（1）指数函数对于110><<a a 和，函数增减性完全相反，因而在做题时，千万不要忘记分类讨论的思想；
（2）指数函数恒过（0,1）点；
（3）对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在y 轴右侧，图像从上到下，相应的底数由大变小，而在y 轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。
所以指数函数的值按逆时针的方向变大。
（4）函数x x a
y a y )1(==和关于y 轴对称。
例6、a,b,c,d 是不等于1的实数，右图为分别以a 、b 、c 、d 为底的指数函数的图像，则a 、b 、c 、d 四个数的大小关系为（ ）
A 、d c b a <<<<1
B 、c d a b <<<<1
C 、d c b a <<<<1
D 、c d b a <<<<1
例7、（1）函数14)(-+=x a x f 恒过定点P ，则P 点的坐标是（ ）
（2）函数1)(-=x a x f （1,0≠>a a 且）的图像恒过点A ，下列函数图象不过点A 的是（ ）
A 、x y -=1
B 、2-=x y
C 、12-=x y
D 、)2(log 2x y =
例8、比较指数的大小（五三：p27）
画图比较：
（1）比较5.27.1-和3-7.1的大小
比较3.03.05.17.1和的大小
比较1.33.08.07.1和的大小
对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与0或者1作比较来分组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幂比较大小，则可以通过一些中间值来比较。
（2）设6.05.16.05.1,6.0,6.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）
（3）已知63123,11,5===c b a ，试比较a ，b ，c 的大小。
（三）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；
（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；
（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；
例9、已知实数b a ,满足等式b a )3
1(21=）（，下列五个关系式中（1）a b <<0； （2）0<<b a ；（3）a<b<0；（4）0<<a b ；（5）1==a b ；其中不可能成立的是（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
例10、（1）解不等式22
122≤-x ）（
（2）求232++-=x x
a y 的单调区间。
（3）求3222
++-=x x y 的单调区间。
（4）求x x y 4212-+=的单调区间。
与指数函数有关的复合函数问题。
例11、求函数32212+-=+x x y 的单调区间。