a2, j −1 b2 an , j −1 bn
即 D j 是把 D 中第 j 列 x j 的系数换成常数项所得到的行列式。 3．初等行变换解线性方程组 ，对它的增广矩阵 A 施行初等行变换，得到阶梯形 给定 n 个未知数 m 个方程组（4.1） 矩阵
⎡c11 c12 ⎢ c12 ⎢ ⎢ ⎢ 初等行变换 →⎢ A ⎯⎯⎯⎯ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
a12 a22 an 2
a11 + a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
．
' ani
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变． 注 （1）设 A, B 均匀为 n 阶矩阵，一般地， | A + B |=| B + A |≠| A | + | B | ．
107
a11
a12 a22
a1n a2 n ann
a11
=
a21 an1
a22 an 2 a1n a2 n ann ann
= a11a12
ann ．
（2）
a11 a21 an1
a1, n −1 a2,n −1
a1n
=
an1
a2, n −1 an , n −1
= (−1)
n ( n −1) 2
a1n a2, n −1
Ax = 0 的解。
定理 如果 ξ 是线性方程组 Ax = b 的解， η 是非齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则
ξ + kη 是线性方程组 Ax = b 的解。
定理 线性方程组的初等变换把线性方程组变成它的同解方程组。 2．克莱姆法则 给定 n 个方程的方程组
⎧a11 x1 + a12 x2 + ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + ⎨ ⎪ ⎪ ⎩an1 x1 + an 2 x2 +
110
1．关于线性相关性的重要定理 向量组 a1 , a2 ,
向量线性表出。 定理 2 若向量组 a1 , a2 ,
, ar 线性无关；而向量组 a1 , a2 ,
由向量组 a1 , a2 , 定理 3 定理 4
, ar 线性表出，且表示法唯一。 , ar 线性相关，则向量组 a1 , a2 , , ar ， α r +1 也线性相关。
c1r c2 r crr 0 0 0
c1n c2 n crn 0 0 0
d1 ⎤ d2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dr ⎥ d r +1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
如果 d r +1 ≠ 0(或r ( A) ≠ ( A)) ，方程组（4.1）无解；如果 d r +1 = 0(或r ( A) = r ( A)) ，方程组
Τ −1
⎧n, 如果r ( A) = n, ⎪ （7） r ( A ) = ⎨1, 如果r ( A) = n − 1, ⎪ ⎩0, 如果r ( A) < n − 1
∗
（ n 为 n 阶方阵） ．
三、向
定理 1
量
, am 线性相关 ⇔ 向量组中至少有一个向量可由其余的 m − 1 个 , ar ，β 线性相关，则 β 可
以上 A, B 为复矩阵， λ 为复数，且运算都是可行的． 注 （1）不同型的零矩阵是没的．
（2） 一般情况下 AB ≠ BA ；AB = O
A = O 或 B = O ；A2 = O
A= O；
109
AB = AC
B = C ． 但 是 A, B 为 方 阵 ， 则 有 | AB |=| BA |=| A || B | ；
−
(α i βi −1 ) βi −1 (i = 3, 4, ( β i −1 , β i −1 ) , α s 等价．
, β s 与原向量组 α1 , α 2 ,
111
四、线性方程组
1. 线性方程组的重要定理 定理 如果 ξ1 , ξ 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，则 ξ1 − ξ 2 是齐次线性方程组
112
（4.1）有解，而且当 r = n 时有唯一解，当 r < n 时有无穷多解。 4．齐次线性方程组 Ax = 0 解的判别别 齐次线性方程组一定有解（至少有零解） 。 定理 推论 1 零解。 推论 2 齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 ⇔ r ( A) < n ⇔ A 的列向量线性相关。 当 m < n （即方程的个数<未知数的个数）时，齐次线性方程组 Ax = 0 必有非 当 m = n 时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
an1 ．
（3）设 A 是 m 阶方阵， B 是 n 阶方阵，则
A ∗ A O = =| A || B | ， O B ∗ B ∗ A O = B O B
T
A = (−1) mn | A || B | ． ∗
T
（4）设 A 是 n 阶方阵， A 为 A 的转置矩阵，用 | A | ， | A | 表示对应 n 阶方阵的行列 式，则有
性质 3 行列式的某一行 （列） 中所有的元素都乘以同一数 k ， 等于用数 k 乘此行列式． 推论 行列式中某一（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零． 性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，如第 i 列的元素都是两数之和：
−1
（4）若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，且 ( AB ) （5）若 A 可逆，则 A 亦可逆，且 ( A ) 注
Τ Τ −1
= B −1 A−1 ．
= ( A−1 )Τ ．
A 可逆的充分必要条件是 | A |≠ 0 ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵．
3. 重要公式与结论 我们给出有关矩阵秩的重要公式与结论如下： （1） r ( A) = r ( A ) ， r ( A) = r ( A ) ； （2）如果 A ∼ B ，那么 r ( A) = r ( B) ； （3） r ( AB) ≤ min(r ( A), r ( B ), ) ， r ( AB) ≥ r ( A) + r ( B ) − n （ n 为 A 的列数） ； （4）若 A ≠ O ，则 r ( A) ≥ 1 ； （5）若 A 可逆，则 r ( AB) = r ( B) ，若 B 可逆，则 r ( AB ) = r ( A) ； （6）若 A, B 为两个阶数相同的矩阵，则 r ( A ± B ) ≤ r ( A) + r ( B) ；
若向量组 a1 , a2 , 若向量组 a1 , a2 ,
, ar 线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得
向量组仍线性无关。 定理 5 向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关。 定理 6 n 个 n 维向量组线性无关 ⇔ 由向量组所构成的矩阵对应的行列式 ≠ 0 。 2．等价向量组的重要结论 注意：研究两个向量组是否等价，通常是通过研究它们的极大无关组是否等价入手。 定理 7 向量组的任意两个极大无关组等价。 定理 8 两个等价的线性无关组所含向量的个数相等。 定理 9 则s ≤t 。 如果向量组 α1 , α 2 ,
推论 如果向量组（I） ， （II）是两个等价的向量组，则 r ( I ) = r ( II ) ，即两个等价的向
量组有相同的秩。 定理 设 A 为矩阵。如果 r ( A) = r ，则 A 中有 r 个线性无关的列向量，而其他列向量
都是这 r 个线性无关列向量的线性组合，也就是 r ( A) = A 的列秩。 一般地， r ( A) = A 的行秩 = A 的列秩。 4．施密特正交化方法 曲线性无关向量组 α1 , α 2 ,
如果系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解：
+ a1n xn = b1 , + a2 n xn = b2 , + ann xn = bn ,
x1 =
其中
D1 D , x2 = 2 , D D
a1, j −1 b1
, xn =
a1, j +1 a2, j +1 an , j +1
Dn ， D
a1n a2 n ann
1 x1 Dn = x12 x1n −1
1 x2
2 x2
1 xn
2 = xn
n ≥i > j ≥1
∏
( xi − x j ) ，
n −1 x2
n −1 xn
其中记号“ Π ”表示全体同类因子的乘积．
二、矩
阵
1．矩阵的运算规律 （1）矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： （ⅰ）交换律 A + B = B + A ． （ⅱ）结合律 ( A + B) + C = A + ( B + C ) ， k (lA) = (kl ) A ． （ⅲ）分配律 k ( A + B) = kA + kB ， (k + l ) A = kA + lA ． 以上 A, B, C 均为 m × n 矩阵； k , l 为常数． （2）矩阵乘法满足下列运算规律： （ⅰ）结合律 ( AB)C = A( BC ) ． （ⅱ）分配律 ( A + B)C = AC + BC ， C ( A + B) = CA + CB ． （ⅲ）数与乘积的结合律 (kA) B = A(kB) = k ( AB) ． （3）方阵幂满足下列运算规律：
| A |=| AT | ．
（5）设方阵 A 可逆，则 | A |=
−1
1 ． | A|
（6） | kA |= k | A | （ A 为 n 阶方阵） ．
n
（7）设 A, B 为同阶方阵，则 | AB |=| A || B | ，注意 | A + B |≠| A | + | B | ． （8）设 A 为 A 的伴随矩阵， Aij 为 aij 的代数余子式，