(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时：当 x t 时， ymin (2) 当对称轴在所给范围之间．即 t 1 t 1 0 t 1时： 当 x 1 时， ymin
1 2 5 1 1 3 ； 2 2
1 2 5 t t ； 2 2
【例题解析】
例 2、当 t x t 1 时，求函数 y
1 2 5 x x 的最小值(其中 t 为常数)． 2 2
分析：由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数 y
1 2 5 x x 的对称轴为 x 1 ．画出其草图． 2 2
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时： 当 x t 1 时， ymin
1 5 1 (t 1) 2 (t 1) t 2 3 ． 2 2 2
1 2 2 t 3, t 0 综上所述： y 3, 0 t 1 1 5 t2 t ,t 1 2 2
【变式训练】 变式 1、当 1 x 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函 数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值． 解：作出函数的图象．当 x 1 时， ymax 1 ，当 x 2 时， ymin 5 ．
b m ，二次函数在 m x n 时的函数图像是单调递减的，则 x n 时， y 取最小值；则 2a
x m 时， y 取最大值。
若
b n ，二次函数在 m x n 时的函数图像是单调递增的，则 x m 时， y 取最小值；则 2a
x n 时， y 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1) 对称轴定、 x 取值范围定； 2) 对称轴定、 x 取值范围动； 3) 对称轴动、 x 取值范围定； 4) 对称轴动、 x 取值范围动。
【例题解析】 例 1．当 2 x 4 时，求函数 y x 2 2 x 1的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函 数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值． 解：作出函数的图象．当 x 2 时， ymin 1 ，当 x 4 时， ymax 9 ．
时， y 取最大值。
2、当 a 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 y 的最值：
b b 4ac b 2 n 时， x 1) 当 m 时， y 取最大值： ymax ； y 的最小值在 x m 或 x n 处 2a 2a 4a
取到。 2) 若
2、当 t x t 2 时，求函数 y x 2 x 1 的最大 取到。 2) 若
b m ，二次函数在 m x n 时的函数图像是递增的，则 x m 时， y 取最小值；则 x n 2a
时， y 取最大值。 若
b n ，二次函数在 m x n 时的函数图像是递减的，则 x n 时， y 取最小值；则 x m 2a
XX 教育辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 第（ ）次课 授课教师 上课时间 年 月 日 共（ ）次课 教学课题 二次函数求最大值和最小值 课时： 课时 数学
教学目标
利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值
教学重点 与难点 课堂引入：
含有参数的二次函数最值求解。
1) 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方 法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容） 。 2) 当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3 的最大值和最小值． （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫）
【变式训练】
1 5 变式 2、当 t x t 1 时，求函数 y x 2 x 的最小值(其中 t 为常数)． 2 2
方法总结： 1、图像法求二次函数最值； 2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。 （对称轴、 x 取值范围、函数图像增减性）
作业： 1、当 1 x 3 时，求函数 y x 2 4x 3 的最大值和最小值．
二次函数求最值方法总结： 一、设 y ax2 bx c(a 0) ，当 m x n 时，求 y 的最大值与最小值。 1、当 a 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 y 的最值：
b b 4ac b 2 n 时， x 时， y 取最小值： ymin ； y 的最大值在 x m 或 x n 处 2a 2a 4a