2017下半年中小学教师资格考试真题试卷《数学学科知识与教学能力》（初级中学）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.矩阵012301120⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为（）A.0B.1C.2D.31.D 【解析】0121201201203013010610121200120120011---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则该矩阵的秩为3。
2.当0x x →时，与0x x -是等价无穷小的是（）A.sin(x-x 0)B.0x x e -C.(x-x 0)2D.ln|x-x 0|2.A 【解析】当0x x →时，sin(x-x 0)与x-x 0是等价无穷小。
3.下列四个级数中发散的是（）A.11n n ∞=∑ B.211n n ∞=∑C.()111nn n ∞=-∑ D.()2111n n n ∞=-∑3.A 【解析】对于P-级数11n n ∞=∑，当p ≤1时，发散，p>1时收敛，故A 项发散，B项收敛；()111nn n ∞=-∑与()2111n n n ∞=-∑属于交错级数，收敛。
4.下列关于椭圆的叙述，正确的是（）A.平面内两定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆B.平面内到定点和定直线距离之比为小于1的常数的动点轨迹是椭圆C.从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆的另一个焦点D.平面与圆柱面的截面是椭圆4.C 【解析】平面内到两定点的距离之和等于常数（常数大于两定点之间的距离）的动点轨迹是椭圆，A 错；平面内到定点和定直线（顶点不在定直线上）距离之比为小于1的常数的动点轨迹是椭圆，B 错；平面与圆柱面的截面是可能是长方形、圆椭圆，D 项错误。
故选C 。
5.以下多项式是二次型的是（）A.22122332x x x x x +++B.22212312x x x x +++C.221233231x x x x -++ D.212313324x x x x x +-5.D 【解析】212313324x x x x x +-对应的二次型矩阵为302001210-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭。
6.已知随机变量X 服从正态分布N ()2,μδ，假设随机变量Y=2X ，Y 服从的分布是（）A.N ()22,2μδB.N ()24,4μδC.N ()22,4μδ D.N ()2,μδ6.C 【解析】X~N ()2,μσ，Y=2X ，则E(Y)=2E(X)=2μ，D(Y)=D(2X)=4D(X)=42σ，故Y~N ()22,4μσ。
7.“矩形”和“菱形”的概念关系是（）A.同一关系B.交叉关系C.属种关系D.矛盾关系7.B 【解析】“矩形”和“菱形”的外延中都包含正方形，因此属于交叉关系。
8.下列图形不是中心对称图形的是（）A.线段B.正五边形C.平行四边形D.椭圆8.B 【解析】如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
正五边形不是中心对称图形。
二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.将平面曲线y=x 2分别绕y 轴和x 轴旋转一周，所得旋转面分别为S 1和S 2。
（1）在空间直角坐标系中，分别写出曲面S 1和S 2的方程。
（2）求平面y=4与曲面S 1所围成的立体图形的体积。
9.【解析】（1）在空间直角坐标系中，y=x 2绕x 轴旋转，则x 不变，将y 变为，代入可得21:S x =。
绕y 轴旋转，y 不变，将x 换成将其代入可得222:S y x y =+。
（2）244008V dy ydy πππ===⎰⎰。
10.据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有60%是本专业考生，有40%是非本专业考生，其中，本专业考生的通过率为85%，非本专业的考生的通过率是50%。
某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。
10.【解析】该考生通过考试的概率P 1=60%×85%+40%×50%=0.71，该考生是本专业考生的概率是P=60%85%510.7171⨯=。
11.在平面有界区域，由连续曲线C 围成一个封闭图形，证明：存在实数ξ，使直线y=x+ξ平分该图形的面积。
11.【解析】证明：设y=x+ξ与该图形相交，将其面积分别分为S 1和S 2，则S 1-S 2是关于ξ的连续函数，记F(ξ)=S 1(ξ)-S 2(ξ)，所以F max =S （S 为封闭曲线的面积），F min =-S 。
根据连续函数的介值定理，所以一定存在ξ，使F(ξ)=0，即S 1(ξ)=S 2(ξ)，此时y=x+ξ平分S 。
12.给出平行四边形和实数的定义，并说明定义方式。
12.【参考答案】平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
定义方式为属加种差定义法。
实数：有理数和无理数统称为实数。
定义方式为外延定义。
13.请用韦达定理简述设置选学内容的意义。
13.【参考答案】对于选修课来说，可以增长学生的知识与技能，丰富学生的数学素养。
以韦达定理为例，韦达定理与一元二次方程根的判别式的关系是密不可分的，而根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理又很好地解释了根与系数的关系，无论方程是否有实数根，根据韦达定理公式都能快速地求出方程两根的关系，因此韦达定理应用广泛，在初等数学、平面几何和解析几何等知识中均有涉及。
三、解答题（本大题1小题，10分）14.线性空间R 3中，已知向量1α=(1,2,1)，2α=(2,1,4)，3α=(0,-3,2)，记{}{}11223|,,|V R V k k R λαμαλμα=+∈=∈。
令{}31122121122|,,,V t t t t R V V ηηηη=+∈∈∈。
（1）求子空间V 3的维数；（2）求子空间V 3的一组标准正交基。
14．【解析】（1）因为{}31122121122|,,,V t t t t R V V ηηηη=+∈∈∈，由题意可得123121121121=2140-320-320-320-32000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1α，2α线性无关，所以dim(V 3)=2。
（2）由题（1）可知1α，2α为V 3的一组基，所以将1α，2α正交化，令()()()121122111,2581,2,1,,,333βαβαβαβββ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，将12,ββ单位化，可得V 3的一组标准正交基126266293593893,666939393ηη⎛⎛==- ⎪⎝⎭⎝⎭。
四、论述题（本大题1小题，15分）15.数学的产生与发展过程中蕴含着丰富的数学文化。
（1）以“勾股定理”教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化；（2）阐述数学文化对学生数学学习的作用。
15．【参考答案】（1）在导入部分，通过数学史中毕达哥拉斯在朋友家做客，发现地板中三角形的三边关系这一情境来导入新课，让学生感受数学文化；在新课讲授阶段，通过运用赵爽弦图对勾股定理进行证明，由求边的关系转化到求面积的关系，这其中渗透了转化的数学思想，在用面积证明勾股定理的过程中，通过移、补、凑、合，使得面积不变，向学生展示割补原理并渗透数形结合的数学思想；在巩固练习阶段，通过运用勾股定理解决实际问题，培养学生的应用意识；在小结阶段，让学生寻找有关勾股定理的资料，并对相关问题进行探宄，进一步培养学生的探索精神。
（2）①数学文化有利于激发学生的学习兴趣。
数学文化给学生带来的不仅是数学命题、数学方法和数学语言，还包括数学思想、数学意识等内容。
在教学中可以通过数学家的故事让学生感受数学文化的博大精深。
②数学文化有利于培养学生数学思维能力以及创新意识和探索精神，这也符合了新课改的要求，数学文化中的历史文化和故事均能激发学生的创新意识和探索精神。
③数学文化有利干发展学生的应用意识。
数学文化的意义不仅在于知识本身和它的内涵，还在于它的应用价值。
数学源于生活，因此在实际教学中要有意识的结合学生的知识结构，加强数学与实际生活的联系。
增强数学的应用性，让数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活中各个领城中都要用到。
五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.案例：某学校的初二年级数学备课组针对“一次函数”，拟对“兴趣班”的学生上一次拓展课，经过讨论，拟定了如下教学目标：①进一步理解一次函数解析式y=kx+b （k ≠0）中参数的含义；②探索两个一次函数图像的位置关系。
【教师甲】先出示问题：一次函数图象是直线，两个一次函数表示的直线平行时，它所对应的一次函数解析式中参数k 有什么特点呢？然后得出一般结论：若函数y=k 1x+b 1（k 1≠0），y=k 2x+b 2（k 2≠0）表示的两条直线平行，则有k 1=k 2，接着通过具体案例，让学生体会参数k 的含义。
【教师乙】同一坐标系下，作一次函数图象，体会k 的含义。
画y=-x+1，y=-x+2；113,122y x y x =-=+，观察每组位置关系，体会k 的含义。
问题：（1）对该备课组拟定的教学目标进行评析；（2）分析甲、乙教学思路的特点。
16.【参考答案】（1）本次课为拓展课，针对的是兴趣班的学生。
评析分为以下几点：①该备课组所拟定的目标，目标主题正确，行为动词恰当。
②就知识与技能目标而言，进一步理解参数含义符合拓展课的需求以及兴趣班的学情，而探索两个函数图象的关系体现了本节课的具体过程；就过程与方法而言，有过程却无明显的方法体现，这一点目标拟定有所不足。
③三维目标还包括情感态度与价值观，尤其是兴趣班学生的拓展课，一定要体现出学生正确积极的情感态度和价值观，而该备课组所拟定的目标在这一点也没有具体体现。
（2）教师甲先出示了问题，之后给出了“平行直线中一次函数解析式中k值相等”的结论。
这种设计思路是为了让学生直接对问题的结论有一个深刻的印象，产生一定的认知，再举出一些具体的实例，让学生体会参数k的含义，这样也对结论进行了巩固。
但这样的设计思路也有一些不足，没有考虑到学生的自主性，在学生发现问题的能力培养上是有所缺陷，启发性有些不足。
教师乙在授课中并没有直接给出参数k的含义，而是在学生动手实践、自主探索与合作交流的基础上得到本节课的知识内容。
先将学生分组，进一步合作画图归纳总结出答案，使课程内容不仅包括了数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的思想方法，体现了学生是学习的主体，利于学生对于知识的学习和掌握。
六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.在学习了平行四边形、三角形的中位线定理后，某老师设计了一个教学目标；①进一步理解三角形中位线定理和平行四边形判定定理；②运用三角形中位线定理、平行四边开判定定理解决问题；③提高发现和解决问题的能力。