例:已知半圆环质量为M,半径为R 已知半圆环质量为M,半径为R M,半径为 它的质心位置? 求:它的质心位置? 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图 由对称性 x = 0
c
M 线密度 λ = πR
M dm = Rdθ πR
y = R sin θ
πபைடு நூலகம்
0
取dl → dm=λdl dl=Rdθ θ
M ∫ ydm = ∫ R sin θ π R Rdθ = yc = M M π R R 2R = ( cos θ ) = (1 + 1) = 0 π π π
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
p = ∑ mi vi = mvc 其中 m = ∑ mi = m1 + m2 + 为质点系的总质量
若令系统总动量 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动. 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点 的运动.
y
设小球质量为 0,则质量和质心坐标分别为: 小球质量为m 则质量和质心坐标分别为: 质量为 大球: 大球: m1 = 64m0 , x1 = 0 , y1 = 0 小球: 小球:m3 = m0 , x3 = R / 2, y3 = R / 4 系统的总质量为 m = m + m2 + m3 = 57m0 1 中球: 中球: m2
drc vc = dt
vc
如何确定这个 点的位置? 点的位置?
∑ =
dri mi vi ∑ mi dt = = m m
dri vi = dt
i i
∑ m dr
mdt
rc
∑mr =
m
i i
rc =
∑m r
i =1 n
n
i i
点C的位矢是质点系各质 的位矢是质点系各质 的位矢是质点系 点位矢的质量加权平均. 的质量加权平均 点位矢的质量加权平均. 质心(质量中心 : 质心 质量中心):质点系 质量中心 质量分布的平均位置 平均位置. 质量分布的平均位置. 对两质点系统,质心位 两质点系统, 系统 置总满足关系式: 置总满足关系式:m1d1 = m2d2 C m1 m2 × d2 d1 o
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 0 + 0 m0 R / 4 1 yc = = = R m 57 m0 228
实例
和质心( 是两个不同 ★重心(Center of Gravity)和质心 Center-of-Mass)是两个不同的 重心 和质心 是两个不同的 概念: 概念: 重心是重力的作用点,质心是系统质量分布的中心. ① 重心是重力的作用点,质心是系统质量分布的中心. 当物体远离地球而不受重力作用时,重心这个概念就失去意义 失去意义, ② 当物体远离地球而不受重力作用时,重心这个概念就失去意义, 但质心却依然存在. 但质心却依然存在. 除非重力场均匀 否则系统的质心与重心通常不重合 重力场均匀, 重合. ③ 除非重力场均匀,否则系统的质心与重心通常不重合. 作用在物体上各部分的重力方向平行;重力加速度可以视为常数. 作用在物体上各部分的重力方向平行;重力加速度可以视为常数. 作用在物体上各部分的重力方向平行 常数 小线度物体(其上 g 各处相等),质心和重心是重合的. 小线度物体( 各处相等),质心和重心是重合的. ),质心和重心是重合的 小线度物体 对于地球上体积不太大的物体,重心与质心的位置是重合的. 对于地球上体积不太大的物体,重心与质心的位置是重合的. 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时,两者就不重合了, 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时,两者就不重合了, 如高山的重心比质心要低一些. 如高山的重心比质心要低一些. ★质心的运动代表着质点系整体的运动,与单个质点的运动相同. 质心的运动代表着质点系整体的运动,与单个质点的运动相同. 整体的运动 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质. 实际物体抽象为质点模型的实质 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质. 质点系的任何运动一般都可分解为 质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和 质心的运动和相对于质心的运动
§2 质心参考系
质心参考系是固结在质心上的平动参考系. 质心参考系是固结在质心上的平动参考系. 固结在质心上 质心在其中静止,一般选取质心作为坐标系的原点. 坐标系的原点 质心在其中静止,一般选取质心作为坐标系的原点. z z' mri i rc = i i c r i'
r '= r r
N
N
∑ m i (ri rc ) = ∑ m i ri '
i =1
∑ mi vi ' = 0
i =1
质心系中的速度
vi ' = vi vc
在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系. 在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系. 卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统, 卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统, 它们的共同质心在冥王星表面以外. 它们的共同质心在冥王星表面以外.
∑m
i =1
n i i
i
直角坐标系中, 分量的表达式 直角坐标系中,各分量的表达式
xc =
∑m x
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
, yc =
∑m y
i =1 n i
n
i
i
∑m
i =1
, zc =
∑m z
i =1 n
i
∑m
i =1
i
例:任意三角形的每个顶点有一质量m,求质心. 任意三角形的每个顶点有一质量 ,求质心. y mx1 + mx2 + 0 (x1, y1)
质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统 质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统 系统上 等于系统的总质量 质心加速度的乘积 的乘积. 质心加速度的乘积. 与描述质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同. 与描述质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同. 质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同 整体的运动→单个质点的运动 单个质点的运动. 整体的运动 单个质点的运动. 质心的运动与内力无关,仅取决于外力, 大力士不能自举其身. 质心的运动与内力无关,仅取决于外力,如大力士不能自举其身. 质点系受到的外力的矢量和为零 受到的外力的矢量和为零, 质心静止或作匀速直线运动 若质点系受到的外力的矢量和为零,则质心静止或作匀速直线运动
a y=a x b b
1 ab 2
从图中看出三角形斜边的方程为
∫ (∫ xdy)dx a = ∫ x(a x)dx b
a a x b b
a 2∫ x(a x)dx 2 ∫ ∫ ydxdy 0 b xc = a 0 0 = 同理 yc = ab ab 3 1 2 a 3 2 2 2 2( ab b ) (ab ab ) b b a 2 3b 3 = = = ∴ 质心的坐标为 , ab ab 3 3 3
N mg = mac
l
质心的坐标:未落地部分+已落地部分 质心的坐标:未落地部分 已落地部分
z
m 1 z,质心的坐标为 z , 未落地部分: 未落地部分:质量 l o 2 整条绳的质心坐标为 整条绳的质心坐标为 v = 2g(l z) dvc d z v2 z dv 2 1 m 1 z = ( v) = + 质心的加速度为 ac = zc = ( z z ) = dt dt l l l dt m l 2 2l z z z
1 1 1 xc = ∫ xdm, yc = ∫ ydm, zc = ∫ zdm m m m m m m dm 线分布: 面分布: 体分布: 线分布: = dl 面分布: = dS 体分布:dm = dV dm S V l
坐标系的选择不同,质心的坐标也不同; 坐标系的选择不同,质心的坐标也不同; 坐标系的选择不同 坐标也不同 密度均匀,形状对称的物体,其质心在物体的几何中心处; 密度均匀, 的物体, 几何中心处 密度均匀 形状对称的物体 其质心在物体的几何中心 质心不一定在物体上,例如:圆环的质心在圆环的轴心上. 质心不一定在物体上 质心不一定在物体上,例如:圆环的质心在圆环的轴心上.
V1 : V2 : V3 = R : R2 : R3 = 64 : 8 : 1
3 1 3 3
x
o
= 8m0 ,x2 = R / 2, y2 = 0
三个球体可视为质量 各自集中在质心( 各自集中在质心(球 处的三个质点 质点. 心)处的三个质点.
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 0 4m0 R + m0 R / 2 7 xc = = = R m 57 m0 114
i =1
N
∑ ∑m
mi
i
=0
rc
x'
y' ri
y
求导
x 从质心系中来看,系统总动量=0, 从质心系中来看,系统总动量 ,零动量参考系 动量守恒 质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性系. 不一定是惯性系 合外力为零时质心系才是惯性系 质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性系.
R ∫ sin θ dθ
π
质心不在物体上,但 质心不在物体上, 相对半圆环位置固定
r = Rsinθ 例:求半径为R的半球形球壳的质心 求半径为 的半球形球壳的质心 根据对称性 细环的质心位于y轴 对称性, 解:根据对称性,细环的质心位于 轴. y = Rcosθ r 如图将球壳细分成无数多细环, 如图将球壳细分成无数多细环,细环 θ R 半径记为r, 球壳质量面密度 面密度为 半径记为 ,设球壳质量面密度为σ, o 则其中任一细环的质量 细环的质量为 则其中任一细环的质量为