A B C D E
F
12♣ 不需加辅助线的
● 三角形与平行线相交线的套用
1.已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂足分别为A , C ．求证：AD=BC
● 多次证明三角形全等得出角或边相等
2.（1）已知：如图，在AB 、AC 上各取一点，E 、D ，使AE=AD ，连结BD ，CE ，BD 与CE 交于O ，连结AO ，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C
（2）已知：如图，AB=DC ，AE=DF ，CE=FB ，求证：AF=DE 。

● 可用多种方法证明 3.已知：如图,AD ＝AE,AB ＝AC,BD 、CE 相交于O. 求证：OD ＝OE ．
● 通过全等三角形得出角相等利用等量代换或补角余角关系得出结论
4．已知：如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：BE ⊥AC 。

♣ 添加辅助线
● 如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段、角相等的一个常用手段。

5.已知：如图，AB=DE ，BC=EF ，CD=FA ，∠A= ∠D 。

求证：∠B= ∠E 。

● 通过高构造全等三角形
6.（1）已知：如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC 。

（2）如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF=180°。

求证：DE=DF 。

A B C D F
E
● 通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等
7．已知：如图AB=AD ，CB=CD ，
(1)求证：∠B=∠D ．
(2)若AE=AF
试猜想CE 与CF 的大小关系并证明．
● 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

8．如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF 。

求证：AC=BF 。

● 通过构造相等的直线，运用三角形全等得出两直线相等，再通过等量代换得出结论。

9、如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 平分∠BAC 交BC 于D 。

求证：AB+BD=AC 。

● “倍长中线法”添加辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法
(1)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF ． 求证：BE=CF ．
A B C
D
(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．。