T平面----过M点的切面 该瞬时虚位移 δr 切面上过M点的任何无限小位移
受固定曲面S约束的质点M
2)虚位移与约束关系 虚位移与约束关系 图中质点M有一虚位移 y+δy，z+δz）
δr
，其坐标 由（x,y,z）变为（x+δx， 有虚位移后，质点的坐标仍 满足约束方程
f （x+δx，y+δy，z+δz） =0
分必要条件是作用于质点系的主动力在任何虚位移中所 作虚功的和等于零。
∑ F ⋅ δr
i
i
=0
如何求虚位移之间的关系： 1. 根据几何关系或虚速度之间的关系 2. 选择一自变量，对各点坐标进行变分
2.证明 证明
必要性：
Fi + FNi = 0 ( Fi + FNi ) ⋅ δri = 0
∑ (F + F ) ⋅ δr ∑ F ⋅ δr + ∑ F
F − mg sin α = 0
（a）
设想平衡附近的微小位移，再次平衡
Fδs − mg sin αδs = 0
（b）
请问，对于一般的非自由 质点系是否能写出类似的平衡 条 件呢？答案是肯定的。
二. 基本概念
1. 虚位移
1)虚位移定义 虚位移定义
某瞬时，质点系在约束所允许的条件下， 可能实现的任何无限小的位移。
D O θ C
B
A
例3:长为2l,质量为m的匀质杆AB，一端置于车厢的粗糙地面 上(摩擦系数为µ)，另一端 斜靠在光滑的竖直壁上，设车以 加速度a向前行驶，求杆的平衡条件。
δw = (N A + f µ ) • δrA + N B • δrB + (mg + ma ) • δrC
= N Aδy A + f µ δx A − N B δx B − mgδy C − maδxC y
∂f ∂f ∂f n = C( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
δr = δx i + δyj + δzk
虚位移如何反映了约束的几何性质： 虚位移δr垂直于曲面上该点处的法线， 也就是说虚位移δr必在通过该点的曲 面的切平面上。
∂f ∂f ∂f n • δr = δx + δy + δz = 0 ∂y ∂x ∂z
柱坐标
3.虚功原理实际应用 虚功原理实际应用
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水稻的加工
虚功原理的应用 例1. 椭圆规机构，连杆长为 l ，各处摩擦不计，在图示位置平 衡。求主动力 FA 和 FB 之间的关系。 解：研究整个机构 的平衡 给系统一虚位移 虚功方程
FAδrA − FBδrB = 0
2. 理想约束
1)定义 约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零,这
种约束称为理想约束.
FNi
质点 mi 的合约束反力 质点的虚位移
δri
理想约束条件
∑F
Hale Waihona Puke Ni⋅ δri = 02)常见的理想约束
支持刚体的固定点
y
刚性杆
M
A
不可伸长的绳
O
x
光滑面（曲线） 光滑面（曲线）约束 光滑铰链
B
A
P
能否用虚位移原理求约束反力？
结束语：
几何静力学平衡条件只是刚体平衡的充分必要条件，虚位 移原理是质点系平衡的充分必要条件。 用几何静力学平衡条件求一些机构的平衡问题极不方便， 虚位移原理是求解静力平衡问题有效而普遍的方法。
光滑面约束
固定平面
PA
A
PA
A
FA
PA
固定曲面
PA
A A
FA
C
齿轮的齿面
C
FC
球铰支座约束
光滑铰链
固定铰链支座
圆柱铰链
• 蝶形铰链约束
C
A
A
B
3. 虚功
定义 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功
δW = F ⋅ δr
三. 虚功原理(虚位移原理)
1.虚位移原理： ：对于具有理想约束的质点系，平衡的充 虚位移原理： 虚位移原理 1.虚位移原理 虚位移原理： 虚位移原理
( ( Fxia )
∂xi ( a ) ∂yi ( a ) ∂z i + Fyi + Fzi ) ∂qα ∂qα ∂qα
Qα = ∑ Fi ( a )
i =1
n ∂ri ( a ) ∂ρ i ( a ) ∂ϕ i ( a ) ∂z i ) = ∑ ( Fρi + Fϕi + Fzi ∂qα ∂qα ∂ qα ∂qα i =1
i
∂ri = ∂qα
n
∑
i =1
( ( Fxia )
∂xi ( a ) ∂yi ( a ) ∂z i + Fyi ) + Fzi ∂qα ∂qα ∂qα
广义力的α 广义力的α分量
• 则以广义坐标表示的 虚功原理可表为：
δW =
对于完整力学系，s个广义虚位移δ qa都是独立的，因而 虚功原理可表为：完整理想约束力学系平衡的充要条件 是：所有作用在系统上的广义力均为0，即： α = 0 Q
∑
将其代入虚功原理（1.6.3）式
δW =
s
n
∑F
i =1 n
(a)
i
• δri =
n
∑ (F
i =1
(a)
i
∂ri • δqα ) ∂qα α =1
s
∑
=
∑ (∑ F α
=1 i =1
(a)
i
∂ri )δqα = 0 ∂qα
引入Qa代表各个广义虚位移δ qa的系数，即令
n
Qα =
∑F
i =1
(a)
在半径为R的球面上质点运动，r-R=0 若取直角坐标系，则写为 x2+ y2 + z2 - R2=0 • 若约束球面的半径随时间匀速增加， 即 R = R + vt
0
R
则约束方程为：
R+vt
x + y + z − ( R + vt ) = 0
2 2 2 2
举例4:滑块
稳定几何约束条件下，无限小的实位移是虚位移之一
A
解得
l 1 cos θ − cos θ − = 0 4R 2
2
虚功原理解法
δw = mg • δrC = mgδxC xC = (2 R cos θ − l ) sin θ δw = mg[−2 R sin θ sin θ + (2 R cos θ − l ) cos θ ]δθ = 0
Qθ = mg[−2 R sin 2 θ + (2 R cos θ − l ) cos θ ] = 0
ɺ 其中 ri 只须满足 只须满足约束方程 f (t , ri , ri ) = 0 ，而 不必满足运动定律及初始条件。
由定义知：真实位移是可能位移之一。 真实位 移是唯一的，可能位移有无穷多个。
P i
dri
Pi
∆ri1 ∆ ri 2 ∆ ri 3
Fi
俯视图
Fi
俯视图
3）约束对可能位移（真实位移）的限制： 设质系受到几何约束 fα (t , ri ) = 0, α = 1,2,..., l 和微分约束 ∑ a β i (t , ri ) ⋅ vi + a β = 0,
西霞院反调节水库
虚功原理 ~
华航 土木工程专业
教学要求： 教学要求：
• • • • • • • • 教学目标： 教学目标： 对理想约束和虚位移有清晰的认识，并会计算虚位移。 能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 对广义力和广义坐标形式的虚位移有初步的理解，并会 计算广义力。 本节重点： 本节重点： 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理求解物体系 的平衡问题。 本节难点： 本节难点： 广义力的概念，广义坐标形式的虚位移原理。
∑ Qα δqα = 0 α
=1
s
(α = 1,2, ⋯ , s )
广义力的α 广义力的α分量 Qα =
n
∑F
i =1
(a)
i
∂ri ) ∂qα
可以看出,广义力即不从属于某个质点,也不直接对应于某 个主动力的分量,而是描述整个体系的物理量.
n
Qα =
∑F
i =1
n
(a)
i
∂ri = ∂qα
n
∑
i =1
i Ni i i
i
=0 ⋅δri = 0
Ni
平衡的质点系
理想约束
∑F
i
Ni
⋅ δri = 0
则
∑ F ⋅ δr
i
=0
3.广义坐标中的虚功原理 广义坐标中的虚功原理 • 设n个质点的完整力学系受到k个理想约束，变换方程为：
ri = ri (q1, q 2, ⋯, q s ; t ) (i = 1,2, ⋯, n)( s = 3n − k ) s ∂ri ⇒ δri = δqα (i = 1,2,⋯, n) ∂qα α =1
问题的提出 一. 问题的提出 基本概念 二. 基本概念
本 节 主 要 内 容
1. 虚位移
1)虚位移定义 虚位移定义 虚位移 2)虚位移与约束关系 虚位移与约束关系 虚位移 3) 虚位移与实位移区别与联系 虚位移与实位移区别与联系 4)举例 举例
2. 理想约束
1)理想约束定义 理想约束定义 理想约束 2) 的理想约束 的理想约束
i =1 N
β = 1,2,..., s
几何约束对可能位移的限制方程为
∂fα ∂fα ⋅ ∆ri + ∆t = 0, α = 1,2,..., l ∑ ∂t i =1 ∂ri