Lˆ S~11
L 1
S1
, 1
S1
L~ L
, S2~2
2
S2
,
2
L~ 3 S2
L 3
3
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
(L11) (L2 2 ) (L3 3 ) 180 （2-1-2）
sin(L )
(S ) (S )
2
2
2
S2
1
S1
sin(L )
1
1
（2-1-3）
若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即
L1 L2 L3 180 0
S2
S1
sin L2 sin L1
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（2-1-4）
造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。
由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何模型 中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足， 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达 到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数 学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这 种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差
方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好
基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的
准则。第一节Fra bibliotek测量平差概述
第二节
测量平差的数学模型
第三节
函数模型的线性化
第四节
参数估计与最小二乘原理
2-1 测量平差概述
量中+ L~，，3=则必18必要0º然量，S~2产选若生为再S~1一L~增ss1、ii个nnL~加2LL~、相~一12S~应1，个返的若量回函目增S~录2数，加关则一系有个式量。L~3，仍则以（存2在）L~情1+况L~2
由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除 此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式， 这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定 某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包 含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、 边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素 都是几何量，以下统称这些网为几何模型。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元 素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其 它元素可以通过它们来确定。例如：
在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就 必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然它无法确定 该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量， n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不 存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有 粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这 样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的 精度，就必须使n>t，若令
的元选就不函素L~1、能数，L~说。则2、t例L~L=~31与3，如，L则，~实2间对L~际1+无于必L函~（+2要L数~13元）=关1素中8系0只的º；选情，又了况三如两，者在个若之（，以间2）而L存~1和情漏在况L~选函2作中了数为，一关必个系要。，
因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。
在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个
r=n-t
（2-1-1）
式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
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一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方
程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成
上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观
测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差，有
（1）在图2-1的△ABC中，为了确定它的形状（相似形），只
要Lˆ3等知。道它其们中都任是意同2个一内类角型的的大元小素就（行角了度，）如。L~1, L~2或L~1, L~3或Lˆ2
（2）为了确定ΔABC的形状和大小（全等形），只要知道其
中如任L~1意、的L~2、2S角~1,1S边~1、、S~22、边L~13,角S~或1、3S~边2、的S~3，大小…就，行等了等，。
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（3）在图2-2的水准网中，为 了确定A、B、C、D4点之间高
度个或它的高们h~4、相差是h~对就同5、关行一h~6 或系了类， ， 型h~1、只如的要元h~h~、21、知素h~…h6~道（3、等其高h~等中4 。3
差）。
能够唯一地确定一个几何 模型所必要的元素，简称必要 元素；必要元素的个数用t来表 示。对于上述三种情况，分别 是t=2,t=3和t=3。对于第二种情 况，3个元素中除了角度还至少 要包含一个边长，没有边长仍 然只能确定其形状；
某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称 为数学模型。总称为抽象模型。
在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
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而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定 之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型， t只与几何模型有关，与实际观测量无关。
对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素
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2-2 测量平差的数学模型
一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型
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在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一 般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得 的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或 者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的