线性代数(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n叫做n 维向量空间.()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量√ 行列式的计算：⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m nA a ⨯=或m n A ⨯()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:①1A A A *-=○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→初等行变换1111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T T A X B X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）⑧ 设√ ④,m n n A B ⨯⨯若 ⑤(r AB ⑥A B 若若⑦若()m n r A ⨯若()n s r B n ⨯=⑨()r A B ±⑩A O r OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 12,,,,n n αβααβα⇒线性相关可由有唯一组解表示法唯一线12),)()A r A ββααββ教材 讲义性无关 不可由 Ax Ax ββ==其导出组有非零解()r A *⎧⎪=⎨⎪⎩1,,,,k k Ax Ax Ax ηηλληβηβ==也是它的解是 的解是的两个解1111,,k Ax Ax βηληλη=的解是 √ 设A ()r A m =⇒)A β⇒√ 判断1,s ηη是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηη线性无关；② 12,,,s ηηη都是Ax 的解；③ ()sn r A =-=每个解向量中自由未知量的个数√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一,s ξ是Ax 列向量个数相同）① 它们的极大无关组相对应② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系(A r A B βγ⎫=⎪⎭m n A ⨯与l n B ⨯B =（左乘可逆矩阵m n ⨯与l n B ⨯关于公共解的三中处理办法：① 把(I)142c c ηη+都是非齐次线性方程组时，设1c ξ+两方程组有公共解21233)(,r c ηηηξη=+-(II)中，找出(I)的通解中的任的关系式而求出公共解。

,每个向量长度为1.),Tn a ),Tn b 的内22n na b a b ++. 记为：α⊥),T na 的长度22212(na a a αα=+++是单位向量 (,)1ααα==. 即长度为的向量.内积的性质： ① 正定性：(,)ααο= ② 对称性：③ 双线性： )E A λ-=0Ax x x Ax x λ=→ (为非零列向量) 与线性相关√ 12n A λλλ=1ni Aλ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. √ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.()1r A =⇔A一定可分解为A=()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A=+++,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0 ○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O=⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n阶矩阵A规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++为A 的一个多项式.√1122,T A mm k kA a b aA bE A A A AA Aλλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩1122,A mm k kAa b aA bEAx A x A A Aλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 是关于的特征向量则也是关于的特征向量.2,m A A 的特征向量不一定是A 的特征向量.√ 与T有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1P AP B -= （P 为可逆矩阵） 记为：A B 1P AP B -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A√ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1PAP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n PPA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.,则其非零特征值的个数（重根重复计算）()r A =.B ,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.,A B 同时可逆或不可逆,特征向量是实向量；. ,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--；⇔有相同的特征值.E = ⇔A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1； ④A 是正交阵,则T A ，1A-也是正交阵；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑥A 的行（列）向量都是单位正交向量组.211,,)nnT n ij i j i j x x x Ax a x x ====∑∑ ij ji a a =，即A 为对称矩,)T n xTCAC B =记作：A B（,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵） pr p -r 为二次型的秩) ⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数AB()()r A r B = ,)T n x x Ax =经过正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =化为21ni i f d y =∑,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由唯一确定的.i d 为-1或0或1时,.√ 惯性定理：任一实对称矩阵A 与唯一对角阵11110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭合同.√ 用正交变换化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量正交规范化； ③构造C（正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T T n n n y d y yd y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni i f d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 例如：123x x x +-=0取1β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭1 1 0，2β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭112.12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)n f x x x >0.正定二次型对应的矩阵. √()T f x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）：① x ο∀≠ ，Tx Ax >0；② A 的特征值全大于0；③ f的正惯性指数为n ；④ A 的所有顺序主子式全大于0；⑤ A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T C AC E =； ⑥ 存在可逆矩阵P ，使得TA P P =；⑦存在正交矩阵C ，使得C AC C AC λλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（i λ大于0）.√ 合同变换不改变二次型的正定性. √A 为正定矩阵⇒a >0； 0A >.√ A 为正定矩阵⇒1,,TA AA -*也是正定矩阵.√ A 与B 合同，若A 为正定矩阵⇒B 为正定矩阵√,A B 为正定矩阵⇒A B +为正定矩阵，但,AB BA 不一定为正定矩阵.41. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).42.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.43.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21ca x e PF +=，)(22x ca e PF -=.44.双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c=+，22|()|a PF e x c=-.45.抛物线px y 22=上的动点可设为P),2(2y p y或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.46.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.考研数学中，线性代数占五个考题，2 个选择题 1 个填空题 2 个解答题：分值为34分，平均用时为40分钟左右，以下为考研数学中出现过的题型: 第一章行列式题型1求矩阵的行列式（十（２），2001；一（５），2004；一（５），2005；一（5），2006） 题型2判断矩阵的行列式是否为零（二（４），1999） 第二章矩阵题型1解矩阵方程或求矩阵中的参数（十，2000；一（４），2001） 题型2求矩阵的ｎ次幂（十一（３），2000）题型3初等矩阵与初等变换的关系的判定（二（１１），2004；二（12），2006） 题型4矩阵关系的判定（二（１２），2005） 题型5矩阵的秩(二(15)，2007) 第三章向量题型1向量组线性相关性的判定或证明（十一，1998；二（４），2000；十一（２），2000；二（４），2003；二（１２），2004；二（１１），2005；二（11），2006；一(7)，2007） 题型2根据向量的线性相关性判断空间位置关系或逆问题（二（4），2002） 第四章线性方程组题型1齐次线性方程组基础解系的求解或判定（九，2001）题型2求线性方程组的通解（十二，1998；九，2002；三（２０（Ⅲ）），2005） 题型3讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组有解时求出通解（三（20），2004；三（２１），2005；三(21)，2007）题型4根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其他（一（４），2000；三（20），2006） 题型5两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定（一（５），2003） 题型6直线的方程和位置关系的判定（十，2003） 第五章矩阵的特征值和特征向量题型1求矩阵的特征值或特征向量（一（４），1999；十一（２），2000；九，2003；三（21（Ⅰ）），2006；三(22)，2007）题型2已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数（三（２１），2004） 题型3已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征 值或参数或逆问题（一（4），1998；十，1999）题型4将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化（三（２１），2004；三（21（Ⅱ）），2006） 题型5矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵（二（４），2001；十（１），2001） 题型6矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定（十，2002） 第六章二次型题型1化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换（三（２０（Ⅱ）），2005）题型2已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵（十，1998；一（４），2002） 题型3已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式（三（２０（Ⅰ）），2005） 题型4矩阵关系合同的判定或证明（二（４），2001；一(8)，2007） 题型5矩阵正定的证明（十一，1999）。