线性代数知识点总结
第一章行列式
（一）要点
1、 二阶、三阶行列式
2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理）
，n 阶行列式的定义
3、 行列式的性质
4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理
5、 克莱姆法则
（二）基本要求
1 、理解n 阶行列式的定义
2、掌握n 阶行列式的性质
3 、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即
a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：
归化为上三角或下三角行列式，
各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，
利用展开式计算
6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章矩阵
（一）要点
1、 矩阵的概念
m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。

当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A .
注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵
a i 1A j 1 ■ a i2A j 2
• a in A jn = 〔
D
'
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法
(1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。

注：矩阵乘积不一定符合交换
(2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k，
A k=A A A
, 1
k个
规定A° = I ,其中I为单位阵.
(3) 设多项式函数(J^a^ k∙a1∙k^l Z-心律∙∙a k，A为方阵，矩阵A的
多项式(A) = a0A k∙a1A k' …-∙-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。

(4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB .
(5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记
*
为A ,
AA* = A*A = AE
矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。

6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价
意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；
用初等变换求逆矩阵。

7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
(二)要求
1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
(1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。

(2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
阵B分块为
B =(b1 b2…b l),其中b j ( j =1,2,…丨)是矩阵B的第j列，
则
AB=AQ b 2…b)=(AR Ab 2…Ab l
)又如将n 阶矩阵P 分块为P =(P I 的第j 列.
P-I 0 O …O O λ2 O …O PJ ......... =(P I P2 …P n )
JD O O …打一
(3) 设对角分块矩阵
P 2…P n ),其中P j ( j =1,2,…n )是矩阵P
「站 O O O
O λ2 O …O 、
、 、 ... ……八
=C-I P I 九2 P 2 ^n P n ) -O O O …打一
,A PP (P= 1,2,…S)均为方阵,
A 可逆的充要条件是 A PP 均可逆，P =1,2,…S ,且
6、 理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩 阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、 理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、 若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵 B ,则称矩阵A 和矩阵B 等价，记为A 三B . m n
矩阵A 和B 等价当且仅当r(A)=r(B),在等价意义下的标准型： 若r(A) = r ，
则
-
U r O
AMD r ， D r = I ， I r 为「阶单位矩阵。

P 0 一 第三章线性方程组
(一)要点
1、 n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律
因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为 A =I n
记所有n维向量的集合为R n, R n中定义了n维向量的线性运算，则称R n为n维向量空间。

2、向量间的线性关系
（1线性组合与线性表示；线性表示的判定
（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法
（1设有两个向量组
：1, ： 2,…：s （A）
2,…It （B）
向量组（A）和（B）可以相互表示，称向量组（A）和（B）等价。

向量组的等价具有
传递性。

（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。

4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
（1）线性方程组的消元解法
（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定
（3）线性方程组解的结构
（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法
（5）非齐次方程组解的求法
（二）要求
1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律
2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念
3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理
4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法
5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法
6、会用消元法解线性方程组
7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法
&理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法
9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章矩阵的特征值与特征向量
（一）要点
1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质
2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件
3、实对称矩阵的特征值和特征向量
向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化
（二）要求
1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质
2、掌握特征值与特征向量的求法
3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质
4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法
5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。

第五章二次型
（一）要点
1、二次型与对称矩阵：
二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系
2、二次型与对称矩阵的标准形
配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形
3、二次型与对称矩阵的有定性
二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定
（二）要求
1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。

2 、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型
3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性。