概率论与数理统计填空题1. 一箱中有6个球，其中有红色球2个，白色球4个，从中任取出3个球，X 表示取出的3只球中的红球数，求： （1）X 的分布律；（2）X 的分布函数()F x ；（3）期望()E X ；（4）方差()D X 。

答案：（1）X 的分布律为：34361{0}5C P X C ===，1224363{1}5C C P X C ===， 2124361{2}5C C P X C === （2）X 的分布函数为0,01,015()4,1251,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）()=1E X（4）27()=5E X ，2()=5D X2.设随机变量X 的分布律为111{1},{0},{1}442P X P X P X =-=====；Y 的分布律为21{0},{1},P Y P Y ====且X 与Y 独立, 令Z X Y =+，则Z 的分布律为答案：3.设,A B 为随机事件，且()0.5,()0.6,()0.8,P A P B P B A ===则()P A B ⋃= 。

答案：0.74.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为23,02,01(,),20,xy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则()E XY = 。

答案：15.设X 服从参数为1的指数分布(1)e ，Y 服从二项分布(10,0.5)B ， 则()()D Y D X = 。

答案： 2.56.设总体X 服从均匀分布(,2)U θθ+，其中0θ>为未知参数，1,,n X X 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则θ的矩估计量为 。

答案：1X -7.随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的分布律为{1}0.2,P X =={2}0.8P X ==，则{3}P X Y +≤= 。

答案：0.368.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。

答案：AB C ABC A BC ⋃⋃9.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。

答案：0.2510.设 A ，B ，C 为随机事件，用A,B,C 的关系表示“A,B 都发生，而C 不发生”为 。

答案： ABC11.设 A ，B ，C 为随机事件，用A,B,C 的关系表示“A,B,C 都发生”为 。

答案： ABC12.已知()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，且A ，B 相互独立，则()P B = 。

答案：2313.已知()0.9,()0.4P A B P B ⋃==，且A ，B 相互独立，则()P A = 。

答案：5614.设随机变量X 的密度为2,02()0,Ax x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它，则常数A= 。

答案：3815.设随机变量X 的密度为2,12()0,Ax x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它，则常数A= 。

答案：1316.设随机变量X 的分布函数为30,0(),01x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,其它.则1{1}2P X -<<= 。

答案：1817.随机变量X 的分布函数为20,0(),01x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,其它，则1{0}3P X <<= 。

答案：1918.设,X Y 为随机变量，()25,()36,D X D Y ==0.4XY ρ=，则()D X Y += 。

答案：8519.设随机变量(,)X Y 的联合密度为3,01,0(,)0,x x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则()E XY = 。

答案：0.320.设随机变量(,)X Y 的联合密度为6,01,0(,)0,x y x yf x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则()E XY = 。

答案：0.421.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中至少有一个发生”可表示为 。

答案：A B C ⋃⋃设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有两个发生”可表示为 答案：ABC ABC A BC ⋃⋃某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到红球的概率为 。

答案：0.7。

答案：3.76设X 的概率密度函数为23,12()70,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，则当12x <<时，X 的分布函数()F x = 。

答案：、31(1)7x -设随机变量~(2,3)X N ，Y ＝2X ＋1，则~Y 。

答案：N(5,12)一箱中有同类产品8件，其中6件为正品，2件为次品。

从中任取2件，X 表示取出的正品数。

则X 的数学期望()E X = 。

答案：3222.设X 的分布函数为0, 0 0.4, 01()0.6, 121, 2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的方差()D X = 。

答案：0.823.设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的分布律为1{1},4P X =-=3{1}4P X ==，则Z XY =的数学期望()E Z = 。

答案：1424.在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<= 。

（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=） 答案：0.95425.设总体X 服从（0-1）分布，即~(1,)X B p ，现取得5个样本观测值分别为1,0,0,1,0，则p 的矩估计值为 。

答案：2526.将一枚骰子掷3次，则只有一次出现“6”点的概率为 （化简出值）。

答案：2572选择题1.在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<=（ B ）。

（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=）(A) 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 1 2.设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ）。

(A) 1 (B) λ (C)1λ(D) 0 3.设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ）。

(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)4.已知1()4P A =,1()6P B =,1()2P B A =,则()P A B ⋃=（ C ）(A) 16 (B) 14 (C) 13 (D) 125.有一大批糖果，设袋装糖果的质量近似地服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ均未知。

现从中随机地取16袋，测得样本均值x =503(g)，样本标准差s=5(g), 则μ的置信度为0.99的置信区间是 （ B ）(A) 0.0050.00555(503(16),503(16))44t t -+ (B) 0.0050.00555(503(15),503(15))44t t -+(C) 0.010.0155(503(16),503(16))44t t -+ (D) 0.010.0155(503(15),503(15))44t t -+6.每次试验成功率为p ，独立重复进行试验直至第七次试验才取得四次成功的概率为（ B ）(A) 4437(1)C p p - (B) 3436(1)C p p - (C) 4426(1)C p p - (D) 3336(1)C p p -设连续型随机变量X 的概率密度函数为212(1),12().0,x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：（1）概率3{}2P X >；（2）数学期望()E X ；（3）方差()D X 。

解：（1）2212(13232{}).23x P X dx ->==⎰ (2) 2212(11())32ln 2x x E X dx -==-⎰(3) 222212(118())3x x E X dx -==⎰设甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有个2个红球4个白球，先从甲盒中任取2球放入乙盒，再从乙盒中任取一个球。

求：（1）从乙中取到的是一个白球的概率； （2）若已知从乙中取到的是一个白球，求从甲中取出的是两个白球的条件概率。

解：（1）A: 从乙中取到的是一个白球 :k B k k 从甲中恰取出个白球，=0,1,221122332222205554563()()(|)8885k k k C C C C P A P B P A B C C C ===⋅+⋅+⋅=∑，（2） 222522268()(|)1(|)3()85C C P B P A B P B A P A ⋅===设某种元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为13001,0()3000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。

（1）求元件寿命超过600小时的概率；（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。

解：（1）23006001{600}300xP X e dx e -+∞->==⎰（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为 222223463()(1)()32C e e e e e ------+=-设在10只同类型零件中有2只是次品，在其中不放回地取3次，每次任取一只，设X 表示取出次品的只数。

求X 的分布函数()F x 。

解：X 的分布律为：383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===X 的分布函数为0,07,0115()14,12151,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩设总体X 具有密度函数(1), 01(;)0, x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中θ是未知参数，1(,,)n X X ⋯ 是来自总体X 的样本。

求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。

解：（1）11()(1)d 2E X x x x θθθθ+=+=+⎰ 令12X θθ+=+, 解得21ˆ.1X X θ-=- （2）11()(,)(1)(,,),nn i n i L f x x x θθθθ===+∏1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑1d ln ()ln 0d 1n ii L nx θθθ==++∑令，解得11.ln nii nxθ==--∑ 所以1ˆ1.ln nii nXθ==--∑设总体X 具有概率密度1,01()0,x f x <<=⎪⎩其他 其中0θ>为未知参数，1,,n X X 为取自总体X 的一个简单随机样本，求: (1)θ的矩估计量；（2）θ的最大似然估计量。