S
β transmission
R
γ recovery
I
23
病毒传染Kermack-McKendrick 模型
• Kermack-McKendrick 病毒传播模型中： S: 易感人群 Susceptible persons I: 被感染人群 Infected persons R: 治愈人群 Removed (immune) persons β: 感染率 Infection rate γ: 免疫率 Immunity rate
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病毒传染Kermack-McKendrick 模型
• Kermack-McKendrick 病毒传播模型中： S: 易感人群 Susceptible persons I: 被感染人群 Infected persons R: 治愈人群 Removed (immune) persons β: 感染率 Infection rate γ: 免疫率 Immunity rate
dS I (t ) S (t ) dt dI I (t ) S (t ) I (t ) dt dR I (t ) dt
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病毒传染Kermack-McKendrick 模型
• Kermack-McKendrick 病毒传播模型中： S: 易感人群 Susceptible persons I: 被感染人群 Infected persons R: 治愈人群 Removed (immune) persons β: 感染率 Infection rate γ: 免疫率 Immunity rate
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
八、元胞自动机应用 • 在社会学中，元胞自动机用于研究经济危机的形成与爆发 过程、个人行为的社会性，流行现象，如服装流行色的形 成等。 • 在生物学中，元胞自动机的设计思想本身就来源于生物学 自繁殖的思想，因而它在生物学上的应用更为自然而广泛 。 • 例如：元胞自动机用于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、 人类大脑的机理探索(Victor.Jonathan.D. 1990)、爱滋病 病毒HIV的感染过程(Sieburg.H.B.1990)、自组织、自繁殖 等生命现象的研究以及最新流行的克隆 (Clone)技术的研 究等 (ErmentroutG.B.1993)。 • 应用领域涉及社会学、生物学、生态学、信息科学、计算 机科学、数学、物理学、化学、地理、歹境、军事学等。
Move to the next cell, with the probability p
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病毒传染Kermack-McKendrick 模型
• Kermack-McKendrick 病毒传播模型中：
S: I: R: β: γ: 易感人群 Susceptible persons 被感染人群 Infected persons 治愈人群 Removed (immune) persons 感染率 Infection rate 免疫率 Immunity rate
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
• 元胞自动机 Cellular Automata • 邻居定义 Neighbor hood definitions • Models 模型
– Game of Life 生命游戏 – Highway Simulation 道路模拟 – Disease Spreading, revisited 疾病传播
第二次大作业：元胞自动机
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
一、元胞自动机概况 • 20世纪50年代，John von Neumann 最早提出； (von Neumann,J.1963，collected works, edited by A.H.Taub) • 1970年，John Conway 提出生命游戏 (Conway, J. (1970). In M. Gardner, (Ed.), Scientific American, 223(4), pp. 120-123.) • 1983年，Stephen Wolfram 初等元胞自动机 (Stephen Wolfram. Reviews of Modern Physics,1983,Vol.55. Stephen Wolfram. Nature,1984,Vol.311) • 1986年至今，理论及应用

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Game of Life 生命游戏
• 任何活着的元胞少于2个活着的邻居， 要处于非激活状态，比拟 人口过少的情况； • Any live cell with fewer than two live neighbours dies, as if caused by under-population. • 任何活着的元胞有2个或者3个活着的邻居，将继续活到下一代（ 下一个时间节点）。 Any live cell with two or three live neighbours lives on to the next generation. • 对于任何一个元胞，有多于3个活着的邻居；就会死去，模拟人 口过多情况；Any live cell with more than three live neighbours dies, as if by overcrowding. • 一个死去的元胞，如果有3个活的邻居，就变成活的，模拟繁殖 • Any dead cell with exactly three live neighbours becomes a live cell, as if by reproduction.
S S S S
I
S S S S S S
1 0 0 0 0 0 0
27
病毒传染Kermack-McKendrick 模型
• 对于每个时间步骤，元胞状态变化为 • 在每个时间步骤，单个元胞的状态变化根据如下规则： – 元胞状态为易感人的种类，当他有一个邻居是已经 感染的人，他将以概率β被感染； – 元胞状态为已经感染的人，自己有一个概率γ恢复成 免疫人群；
5
6 7
4 1
3 2 9
8
• 图为二维元胞自动机局部示意图，其中晶格1为对象 元胞，2-9为对象元胞的邻居，设这些元胞在t时刻 的状态为，则对象元胞1在t+1时刻的状态为：
St 1(1) f[S t(2),S t(3),S t(4),S t(5),S t(6),S t(7),S t(8),S t(9)]
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
二、格子及其状态
• 任意格子i,有两种状态，且状态是随时间变化。
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
三、状态的演化
•
0 x : i格子t时刻的状态,且x ,i 12 , ,……,L 1
t i t i
• 状态演化方程

•
xit 1 f ( xit1,xit ,xit1 )，i 12 , ,……,L
周期边界
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
四、映射的种类
x
t 1 i
0 1
x
t i 1
0 1
0 x 1

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Game of Life 生命游戏
• 在二维空间中，建立 模型 Ni = 1st order Moore neighbours 数量 对于目标元胞 i；. • 在每个元胞上循环， each cell i: 1. 不活动状态Deactivate: If Ni <2 or Ni >3. 2. 活动状态Activate: if cell i is deactivated and Ni =3
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
六、时空图举例
rule 18
rule 57
rule 150
rule 30
rule 73
rule 126
rule 124
rule 169
初等元胞自动机(Elementary Cellular Automata)
七、元胞自动机种类 1983年，Stephen Wolfram 对初等元胞自动机的分类 • 平稳型:自任何初始状态开始,经过一定时间运行后，元胞空间 趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处 于固定状态。不随时间变化而变化。 • 周期型:经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固 定结构(Stable Paterns)或周期结构(Periodical Patterns)。 • 混沌型:自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞自 动机表现出混沌的非周期行为，所生成的结构的统计特征不 再变止，通常表现为分形分维特征。 • 复杂型:出现复杂的局部结构，或者说是局部的混沌，其中有 些会不断地传播。
S S S S S S S I I I I I I I I I S S S S I I I S S S S S S S S S 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
R I R I I I
路况模拟 Highway Simulation
• 作为一维元胞自动机的模拟，我们假设汽车在单元中，对于一个 有汽车的单元，cell i: 1. 停下： 如果这个单元直接的前面一个单元是被占用的， Stay: If the cell directly to the right is occupied. 2. 移动：否则就以概率p向前移动一个格子，； Move: Otherwise, move one step to the right, with probability p