yi f (xi )(i 0,1,...,n) 以及边界点上的一阶导数值f '(x0 ), f '(xn). 求一个三次样条函数S( x)使之满足
S(xi ) yi
(i 1,2,...,n 1)
S(xj ) yj , S'(xj ) f '(xj ) ( j 0, n) 8－
三弯矩插值法的基本思想 （ 1）yi'' f''(xi )未知，但可设S''(xi)Mi,
上的一个分划 ,:ax0x1 xn1xnb 给定节点上函数值f(xi)，i0,1,2, ,n。 若函数S(x)满足 (1)S(xi ) yi i 0，1， n； (2)S(x)Ck1[a,b]，即在整体上是k-1阶连续的； (3)S(x)在每一个小区间[xi, xi1]是k次多项式
（i 0，1， n1） 则称S(x)为k次样条函数。x1,..., xn1称为内节点, x0, xn称为外节点.
2－
样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机 械器件,它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条. 或接近图 表上确定的描绘点.“样条函数”这个术语意在 点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很 象.
3－
一.k次样条函数的定义
定义 若函数yf(x)在 [a,b]上连续，对于区间[a,b]
（ 4 ） 再 由 三 弯 矩 方 程 边 界 条 件 （ 补 充 两 个 方 程 ） 封 闭 的 方 程 组 ， 可 求 出 M i,(i 0 ,1 ,2 ,...,n )9－
1、建立三弯矩方程 在[xi，xi1]上，三次样条函数可表示为 Si(x)ai(xxi )3 bi(xxi )2 ci(xxi )di (i 0， 1，，n1)
4－
二.三次样条插值函数的提法
1.定 义 若 函 数 yf(x)在 [a,b]上 连 续 ， 对 于 区 间 [a,b]
上 的 一 个 分 划:ax0x1 xn1xnb 给 定 节 点 上 函 数 值f(xi)， i0,1,2, ,n。 若 函 数 S(x)满 足
(1)S(xi ) yi i 0， 1， n； (2)S(x)C2[a,b]，即在整体上是二阶连续的；
以下面问题为例介绍三转角插值法.
兰洲交通大学数理学院 1－
4.4 三次样条插值
4.4.1 三次样条插值函数的概念
分段三次Hermite插值函数只有当被插函数在所有插 值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，并且该 插值函数在内节点处的二阶导数一般不连续，因而插值 曲线不是很光滑。在一些实际问题中，我们不可能也没 有必要已知被插值函数在内节点处的导数值。本节将讨 论在科学和工作计算中起到重要作用的一种分段三次插 值，它只在插值区间的端点比Lagrange插值多两个边界 条件，但却在内节点处的二阶导数连续。
Si1(xi)Si (xi), Si'1(xi)Si'(xi), Si''1(xi)Si''(xi), i1,2,...,n1
共 有 (n1)3(n1)4n2个 条 件 ,
3(n1)个条件
缺 两 个 条 件 ， 由 边 界 条 件 给 出 。
6－
3.边界条件 常见的边界条件有以下三种：
（1）给定端点一阶导数值
其中ai,bi,ci,di是四个待定系数。（共有4n个待求系数）
设 S" (xi)M i， (i0 ， 1 ， ， n )， M iyi" ，
（1）建 共 立 有 an i ,b1 i个 ,ciM ,di待 i和 求 M 。 i之间的关系 在Si(x)中代入两个端点xi和xi1,并记hi xi1xi,
Sn1(x)
x[x0,x1]; x[x1,x2];
x[xn1,xn];
故 构 造 S (x )需 要 4 n 个 条 件
由 （ 1 ） 已 知 节 点 上 函 数 值 y i , i 0 , 1 , 2 , . . . , n 。 这 是 n + 1 个 条 件
由 （ 2） S(x)C2[a,b],隐 含 着 在 内 节 点 上 应 有
得到
yi Si(xi)ai(xi xi)3bi(xi xi)2ci(xi xi)di di yi1 Si(xi1)aihi3bihi2cihi di
10－
对Si (x)求导 S'i(x)3ai(xxi )2 2bi(xxi )ci S"i(x)6ai(xxi )2bi
于是 Mi S"i(xi )6ai(xi xi )2bi 2bi Mi1 S"i(xi1)6aihi 2bi
(Mi yi'',只是Mi yi'')
（ 2 ） 如 能 求 出 M i ， 则 可 由 M i 和 y i 构 造 S ( x ) . (3)如何求Mi? 可 利 用 在 节 点 上 一 阶 导 数 连 续 条 件 由Si'1(xi)Si'(xi), i1,2,...,n1 导 出 三 弯 矩 方 程 （ n1个 方 程 要 解 n1个 未 知 数 ）
S'(x0) f '(x0), S'(xn) f '(xn) 称为固支边界条件。 （2）给定端点二阶导数值
S"(x0) f "(x0)，S"(xn) f "(xn) 特别，当S"(x0) 0和S"(xn) 0
称为自然边界条件。
（3）周期边界条件
S( x0 0) S( xn 0)，
S '( x0 0) S '( xn 0)
(3)S(x)在每一个小区间[xi, xi1（ ] i 0， 1， n1） 是三次多项式;
则称S(x)为三次样条函数。x1,..., xn1称为内节点,
x0, xn称为外节点.
5－
2、 插 值 条 件 分 析
由（3）S(x)在每个[xi,xi1]上表达式不同，故应分段构造：
S0(x) S(x) S1(x)
S "( x0 0) S "( xn 0)
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4 . 构 造 三 次 样 条 插 值 函 数 S ( x ) 的 基 本 方 法
(1)三 弯 矩 插 值 法 (2)三 转 角 插 值 法
三．三弯矩插值法 以 下 面 问 题 为 例 介 绍 三 弯 矩 插 值 法 .
问题 对于分划,已给相应的函数值